הקדמה לבעיות אופטימיזציה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | אופטימיזציה |
| variable/ˈveərɪəbl/ | משתנה |
| objective function/ɒbˈdʒektɪv ˈfʌŋkʃn/ | פונקציית מטרה |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | הגבלה |
הופכת משהו לגדול (או קטן) ככל האפשר
- בעיות אמיתיות שואלות: איזה ממדים נותנים שטח גדול? עלות זולה? זמן קצר?
- אלו בעיות אופטימיזציה — מציאת מקסימום או מינימום של כמות.
- הקלקולוס פותר אותם משום שהאקסטרה נמצאת שם שבה הנגזרת אפס.
- שיעור זה עוסק בהכנה; הפתרון יגיע לאחר מכן.
קראו משתנה וכתבו את המטרה
- בחרו משתנה עבור הכמות שתוכלו לשלוט בה (אורך, רדיוס, מחיר).
- כתבו את מה שאתם רוצים למקסם או למינים כפונקציה של המשתנה הזה — ה-פונקציית המטרה.
- דוגמה: לריבוע עם היקף קבוע, כתבו את ה-שטח ביחס לאורך צלע אחד.
- שרטטו תמונה ומתנו לה תוויות — רוב השגיאות בהכנה נובעות מתרשים ללא תוויות.
ב"מקסום שטח עם היקף קבוע", השטח הוא ה-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
את האופטימיזציה מבצעים על מטרת האופטימיזציה (השטח); ההיקף הוא תנאי האילוף.
השתמשו במגבלה כדי לקבל משתנה אחד
- לרוב המטרה מתחילה עם שני משתנים (כמו אורך ורוחב).
- משוואת מגבלה מקשרת ביניהם (היקף קבוע, נפח קבוע, תקציב).
- פתרו את המגבלה עבור משתנה אחד והכניסו (substitute), כך שהמטרה תסתמך על משתנה יחיד.
- עכשיו זו בעיה רגילה של "מציאת האקסטרה".
שטח כפרבולה אחת הפוכה
y = ax² + bx
לאחר שימוש בתנאי האילוף, השטח הופך ל-$A=10x-x^2$ — פרבולה הפוכה עם שיא יחיד למציאה.
משוואת הגבלה משמשת ל...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לפתור את משוואת ההגבלה למשתנה אחד ולהציב.
היעד של ההקמה הוא לכתוב את הפונקציה המטרה בתלות ב____ משתנה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
משתנה אחד ⇒ בעיית אקסטרום רגילה.
סדר את שלבי הקמת האופטימיזציה.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
משתנה, מטרה, הגבלה, הצבה.
הכנה פתורה
- "לחווה יש $40$ מטר גדר לגן מלבני סמוך לקיר (אין גדר בצד הקיר)."
- מגבלה: הגדר המשומשת $=2x+y=40$, ולכן $y=40-2x$.
- מטרה: שטח $A=xy=x(40-2x)=40x-2x^2$, כעת פונקציה של $x$ לבדו.
- מוכנים למקסם $A(x)$ — זהו שיעור 5.11.
עם $2x+y=40$ (קיר בצד אחד), השטח $A=xy$ הופך ל...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$y=40-2x$, ולכן $A=x(40-2x)=40x-2x^2$.
שימת לב לתחום ההגדרה של המשתנה (למשל $0<x<10$) היא חלק מהקמת אופטימיזציה נכונה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גבולות תחום ההגדרה שבהם תשובה תקינה יכולה להיות.
שמרו על הפרדה בין ה-מטרה (מה שמתמיטמים) לבין ה-מגבלה (הקשר הקבוע). מקסימים/מינימים את המטרה, ומשתמשים במגבלה רק כדי לסלק משתנה. כמו כן שימו לב ל-תחום ההגדרה של המשתנה (למשל $x>0$ ו$y>0$) — הוא קובע את המקום שבו תשובה תקפה יכולה להתקיים.
הכנה: מקסמו את שטחו של מלבן עם היקף $20$.
- נתנו לצלעות $x$ ו$y$. מגבלה: $2x+2y=20\Rightarrow y=10-x$.
- מטרה: $A=xy=x(10-x)=10x-x^2$.
- תחום: $0<x<10$. הבעיה הפכה כעת ל"מקסמו את $A(x)=10x-x^2$."
בעיית אופטימיזציה מחפשת מקסימום או מינימום. יש להגדיר על ידי מתן שם ל-משתנה, כתיבת פונקציית המטרה לאופטימיזציה, ושימוש במשוואת הגבלה כדי לצמצם אותה ל-משתנה יחיד. שימו לב לתחום. לאחר מכן מדובר בבעיית קיצון סטנדרטית (בשיעור הבא).