ציור גרפים של פונקציות ונגזרותיהן
הוצגציור הגרף כולו מהנגזרות
- הנגזרות הן מתכון לגרף: $f'$ נותנת את השיפועים, ו-$f''$ נותנת את הכיפולים.
- בשילוב טבלאות הסימנים השתיים ניתן לטרוץ עקומה שלא נתונה לכם.
- המקסימומים והמינימום נובעים מ-$f'$; הכיפוף והנקודות החיבור נובעים מ-$f''$.
- כאן כל יחידת 5 מתאחדת לתמונה אחת.
המידע שמרכיבים
- מ-$f'$: תחומי עלייה/ירידה ואת המקסימום והמינימום (בהם $f'$ משנה סימן).
- מ-$f''$: תחומי כיפוף ואת נקודות החיבור (בהם $f''$ משנה סימן).
- בנוסף כמה נקודות מצולעת וכל חיתוך לצירים כדי לקבע את הגובה.
- בשילוב כל אלו יחד, הצורה נכפה.
נקודת קיצון מקומית של $f$ נוצרת ב____ של $f'$ שבו הוא משנה סימן.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אפס המשתנה סימן של $f'$ מסמן קיצון של $f$.
איזה מאפיינים נובעים מ-$f''$ (הנגזרת השנייה)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
קעירות + התחלקות מ-$f''$; עלייה/ירידה + קיצונים מ-$f'$.
טריצת $f'$ מתוך $f$, ולהפך
- בהינתן גרף של $f$: בה $f$ יש משיק אנכי, נמצא $f'=0$ (אפס של $f'$).
- בה $f$ עולה, $f'$ חיובי; בה $f$ יורד, $f'$ שלילי.
- בה $f$ התלול ביותר, $f'$ בקצה; בחיבור של $f$, ל-$f'$ יש מקסימום או מינימום.
- הפוך את הקריאה כדי לשרטט $f$ מתוך $f'$ נתון.
כאשר לגרף של $f$ יש משיק אופקי, לגרף של $f'$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
משיק אנכי ⇒ שיפוע $0$ ⇒ $f'=0$.
כאשר $f$ עולה, הנגזרת שלו $f'$ חיובית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עלייה ⇔ $f'>0$.
הניח את הסימונים על השרטוט
- סמן כל קיצוני (שיא/שפל), כל נקודת עיקום (הפיכת כיפוף), וסמן את התחומים.
- התאם בין עלייה+עיקום למעלה (כיפוף תלול) לבין עלייה+עיקום למטה (התיישבות), וכדומה — ארבעה שילובים.
- בדוק תאימות: מקסימום מקומי אמור להיות שם שהעלייה הופכת לירידה וגם העיקום הוא למטה.
- שרטוט נקי מראה שארבעת המאפיינים מסכימים זה עם זה.
הצורה הסופית
y = ax³ + cx
פסגה ב-$(-1,2)$, נקודת התנפכות ב-$(0,0)$, עמק ב-$(1,-2)$ — בדיוק מה שמציינים הגרפים של $f'$ ו-$f''$.
בנקודה בה $f$ גבוה אך שטוח, הערך של $f'$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קראו את השיפוע, לא הגובה: שטוח ⇒ $f'=0$.
מקסימום מקומי אמור להתקבל שבו $f$ עובר מעלייה לירידה והעקומה קעורה...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פסגה היא קעורה כלפי מטה (כמו כיפה).
אל תקרא $f'$ מהגובה של $f$ — קרא אותו מהשיפוע. כשה$f$ גבוה אבל שטוח, ה$f'=0$ לא "גדול". ואפס של $f'$ מסמן קיצוני אפשרי של $f$; אפס של $f''$ מסמן נקודת עיקום אפשרית של $f$ — שמור על הפרדה בין הרמות הללו.
רמזים לשרטוט עבור $f(x)=x^3-3x$.
- $f'=3(x-1)(x+1)$: עולה ב$(-\infty,-1)$ וב$(1,\infty)$, יורד ב$(-1,1)$; מקסימום ב$(-1,2)$, מינימום ב$(1,-2)$.
- $f''=6x$: עיקום למטה עבור $x<0$, עיקום למעלה עבור $x>0$; נקודת עיקום ב$(0,0)$.
- השקיצה: עולה לשיא בנקודה $(-1,2)$, יורדת דרך $(0,0)$, צוללת למעמק בנקודה $(1,-2)$, ולאחר מכן עולה.
כדי לשרטט גרף, שלב את מה שה$f'$ אומר (עלייה/ירידה וקיצונים) עם מה שה$f''$ אומר (עיקום ונקודות עיקום), ותוספת כמה נקודות עוגן. קרא את ה$f'$ מהשיפוע של ה$f$ (לא הגובה שלו); אפס של ה$f'$ הוא קיצוני אפשרי, אפס של ה$f''$ הוא נקודת עיקום אפשרית.