שימוש במבחן הנגזרת השנייה לקביעת אקסטרימה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Second Derivative Test/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv test/ | מבחן הנגזרת השנייה |
| inconclusive/ɪŋkənˈkluːsɪv/ | לא מכריע |
סיווג קיצון באמצעות מספר אחד
- מבחן הנגזרת הראשונה בוחן שינויי סימן; מבחן הנגזרת השנייה מהיר לעיתים קרובות יותר.
- בנקודה קריטית שבה $f'(c)=0$, פשוט בדוק את הסימן של $f''(c)$.
- פנימה כלפי מעלה בנקודה שטוחה → עמק; פנימה כלפי מטה בנקודה שטוחה → פסגה.
- הערכה אחת של $f''$ יכולה לפתור את הדבר — אין צורך בטבלת סימנים.
$f''(c) > 0$: מינימום
- אם $f'(c)=0$ וגם $f''(c)>0$, אז ל-$f$ יש מינימום יחסי בנקודה $c$.
- פנימה כלפי מעלה (כוס) עם מגע אופקי = תחתיתו של עמק.
- אינטואיציה: השיפוע הוא אפס וגדל, ולכן העקומה מתעקמת כלפי מעלה.
כוס בתחתית (מינימום), כיפה בראש (מקסימום)
y = ax³ + cx
במינימום המקומי העקומה קעורה כלפי מעלה ($f''>0$); במקסימום המקומי היא קעורה כלפי מטה ($f''<0$).
אם $f'(c)=0$ ו-$f''(c)>0$, אזי $c$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קעור כלפי מעלה בנקודה שטוחה = מינימום.
$f''(c) < 0$: מקסימום
- אם $f'(c)=0$ וגם $f''(c)<0$, אז ל-$f$ יש מקסימום יחסי בנקודה $c$.
- פנימה כלפי מטה (כובע) עם מגע אופקי = חרוף ההר.
- השיפוע הוא אפס וקטן, ולכן העקומה מתעקמת כלפי מטה.
אם $f'(c)=0$ ו$f''(c)<0$, אזי $c$ היא ____ יחסי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קעור כלפי מטה בנקודה שטוחה = מקסימום.
כשהוא אינו מספק מידע
- אם $f''(c)=0$, המבחן אינו מכריע — הוא אינו מספק תשובה.
- הנקודה עשויה להיות מקסימום, מינימום או שאין לה שום דבר (כמו $y=x^3$ בנקודה $0$, או $y=x^4$ בנקודה $0$).
- במקרה כזה, חזור למבחן הנגזרת הראשונה (שינוי סימן של $f'$).
- כלומר: השתמש במבחן הנגזרת השנייה תחילה אם $f''$ קל לחישוב; מעבר למבחן הראשון אם $f''(c)=0$.
אם $f''(c)=0$, מבחן הנגזרת השנייה מגדיר שאין אקסטרימה ב$c$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המבחן אינדיסקרטיבי — יש להשתמש במקום זאת במבחן הנגזרת הראשונה.
עבור $f(x)=x^3-3x$ ($f''=6x$), סווג את $x=-1$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f''(-1)=-6<0$ → מקסימום מקומי.
מבחן הנגזרת השנייה מיושם בנקודה קריטית שבה...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זה מייין נקודות קריטיות שבהן המשיק אנכי, $f'(c)=0$.
מתי כדאי לחזור למבחן הנגזרת הראשונה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
המבחן הראשון תמיד עובד; השני פשוט מהיר לעיתים קרובות יותר.
מבחן הנגזרת השנייה דורש $f'(c)=0$ ראשונה — הוא מסווג נקודות קריטיות בהן המשיק אנכי. והעובדה ש-$f''(c)=0$ אינה מחליטה אינה אומרת "אף אחד": במקרה כזה יש להשתמש במבחן הנגזרת הראשונה. אין לסייג "אין מקסימום/מינימום" רק בגלל היות$f''(c)=0$.
סווג את הנקודות הקריטיות של $f(x)=x^3-3x$ באמצעות $f''$.
- $f'(x)=3x^2-3=0$ ב-$x=\pm1$; $\;f''(x)=6x$.
- ב-$x=1$: $f''(1)=6>0$ → מינימום יחסי.
- ב-$x=-1$: $f''(-1)=-6<0$ → מקסימום יחסי.
מבחן הנגזרת השנייה: בנקודה קריטית עם $f'(c)=0$, הערך $f''(c)>0$ מעיד על מינימום יחסי ו-$f''(c)<0$ על מקסימום יחסי. אם $f''(c)=0$ המבחן אינו מחליט — יש לחזור למבחן הנגזרת הראשונה.