קביעת קעירות פונקציות בתחום ההגדרה שלהן
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| concavity/kənˈkævɪti/ | קמילות |
| sign of the second derivative/saɪn ɒvðə ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | סימן הנגזרת השנייה |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | קמורה כלפי מעלה |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | קמורה כלפי מטה |
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | נקודת קיפול |
כיצד העקומה מתכופפת
- עלייה/ירידה מספרים לך לאיזה כיוון העקומה הולכת; קעירות מספרים לך איך היא מתכופפת.
- עקומה יכולה לעלות בעוד שהיא מתכופפת כמו גביע (פתוחה כלפי מעלה) או כמו כיפה (פתוחה כלפי מטה).
- הכיפוף מנוהל על ידי סימן הנגזרת השנייה.
- $f''$ מודד כיצד השיפוע $f'$ עצמו משתנה.
קעור כלפי מעלה: $f'' > 0$
- שם ש$f''(x)>0$, הגרף הוא קעור כלפי מעלה – בצורת חיוך, ונוטה לאגור מים.
- השיפוע $f'$ הוא בעלייה (הופך חיובי יותר או פחות שלילי).
- עמקות בצורת כוס הן קעורות כלפי מעלה.
- המשיקים נמצאים מתחת לעקומה קעורה כלפי מעלה.
גרף הוא קעור למעלה בדיוק במקומות שבהם...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קעור למעלה ⇔ $f''>0$ (שיפוע עולה).
קעור כלפי מעלה פירונו שהשיפוע $f'$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קעור כלפי מעלה ⇔ $f'$ עולה ⇔ $f''>0$.
קעור כלפי מטה: $f'' < 0$
- שם ש$f''(x)<0$, הגרף הוא קעור כלפי מטה – בצורת קמעת מצוקה.
- השיפוע $f'$ הוא ירידה.
- גבעות בצורת כיפה הן קעורות כלפי מטה.
- המשיקים נמצאים מעל העקומה הקעורה כלפי מטה.
במקומות שבהם $f''(x)<0$, הגרף הוא קעור ____ (בראש כדור).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נגזרת שנייה שלילית → קעור למטה.
נקודות אינפלסיה: שם הכיפוף מתהפך
- נקודת אינפלסיה היא שם שהקעירות מתחלפת – מכלפי מעלה לכלפי מטה או להפך.
- שם, $f''$ משנה סימן (בדרך כלל עובר דרך $0$, לעיתים גם לא מוגדר).
- בנה טבלת סימנים עבור $f''$, בדיוק כמו שעשית עבור $f'$, כדי למצוא אותן.
- נקודת אינפלסיה עוסקת בשינוי ב-הכיפוף, ולא בשיפוע.
קעור למטה ולאחר מכן קעור למעלה
y = x³
משולש זה מתכופף כמו כיפה עבור $x<0$ וכמו כוס עבור $x>0$ — השינוי ב-$0$ הוא נקודת אינפלקציה.
נקודת אינפלקציה דורשת שה-$f''$ ישתנה סימן, לא רק שיתאפס.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ל-$y=x^4$ יש $f''(0)=0$ אך ללא שינוי סימן → זוהי לא נקודת אינפלקציה.
עבור $f(x)=x^3$, $f''(x)=6x$. באיזה $x$ נמצא נקודת הקעירות?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f''=6x$ משנה סימן ב$x=0$.
עבור $y=x^4$, האם $x=0$ היא נקודת קעירות?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f''=12x^2\ge0$ בשני הצדדים — אין שינוי סימן, ולכן אין נקודת קעירות.
$f''(c)=0$ לבדו אינו הופך את $c$ לנקודת אינפלסיה – $f''$ חייב באמת לשנות סימן שם. לדוגמה, ב-$y=x^4$, $f''(0)=0$, אך $f''\ge0$ בשני הצדדים (ללא שינוי סימן), ולכן $x=0$ היא לא נקודת אינפלסיה. בדוק את הסימן בשני הצדדים, אל תסתפק רק בפתרון $f''=0$.
מצא את הקעירות ואת נקודת האינפלסיה של $f(x)=x^3$.
- $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x$.
- $f''<0$ עבור $x<0$ (קעור כלפי מטה); $f''>0$ עבור $x>0$ (קעור כלפי מעלה).
- $f''$ משנה סימן בנקודה $x=0$ → נקודת עיקום בנקודה $(0,0)$.
התכופפות נקבעת על ידי סימן $f''$: $f''>0$ → פנימה כלפי מעלה (כוס), $f''<0$ → פנימה כלפי מטה (כובע). נקודת עיקום היא מקום שבו $f''$ משנה סימן — הכיפוף הופך הפוך. $f''=0$ היא מועמדת, אך יש לאמת שינוי סימן.