שימוש במבחן המועמדים למציאת קיצונים אבסולוטיים (גלובליים)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Candidates Test/ˈkændɪdeɪts test/ | מבחן מועמדים |
מציאת האמיתיים הגבוה והנמוך ביותר
- בטווח סגור, משפט הערך הקיצוני מבטיח קיום של מקסימום ומינימום מוחלטים. היכן הם?
- הם יכולים להיות רק בנקודה קריטית או בקצה — רשימה קצרה של חשודים.
- מבחן המועמדים פשוט מחשב את $f$ בכל חשוד ומשווה ביניהם.
- אין צורך בטבלאות סימנים — הגדול ביותר הוא המנצח, הקטן ביותר הוא המפסיד.
שלושת השלבים
- 1. מצאו את כל הנקודות הקריטיות ב-$[a,b]$ (כאשר $f'=0$ או מוגדר).
- 2. חשבו את $f$ בכל נקודה קריטית וגם בשני הקצוות $a$ ו-$b$.
- 3. השוו את הערכים: הגדול ביותר הוא המקסימום המוחלט, הקטן ביותר הוא המינימום המוחלט.
- דווח גם על הערך וגם על המיקום שלו.
נקודות קצה ונקודות קריטיות
y = ax³ + cx
המקסימום/מינימום האבסוליטיים בתחום סגור נסתרים בין נקודות הקצה לבין הנקודות הקריטיות בפנים — יש להשתמש ולשוות ביניהן.
כדי למצוא קיצונים אבסולוטיים ב$[a,b]$, יש לחשב את $f$ באילו נקודות?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
נקודות קריטיות בשילוב עם שתי נקודות הקצה — זו רשימת המועמדים המלאה.
אל תשכחו את קצוות התחום
- בתחום סגור, הקיצונים נמצאים לעיתים בקצוות, ולא בנקודות קריטיות.
- פונקציה מונוטונית (תמיד עולה) מקבלת את המקסימום שלה בקצה הימני ואת המינימום בקצה השמאלי.
- לכן חובה לכלול תמיד את $f(a)$ ואת $f(b)$ ברשימת המועמדים.
- פספוס של קצה הוא הדרך הנפוצה ביותר לקבל קיצון מוחלט שגוי.
עבור $f(x)=x^3-3x$ בתחום $[0,2]$, כאשר $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$, מהו הערך המרבי האבסולוטי?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הערך הגדול ביותר של המועמד הוא $2$ (נקודת הקצה $x=2$).
אותה פונקציה ומועמדים: מהו הערך המינימלי המוחלט?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הערך הקטן ביותר של המועמד הוא $-2$ (נקודה $x=1$).
ניתן לדלג על נקודות הקצה ועדיין להיות בטוחים מקיימת האקסטרימה המוחלטת.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אקסטרימות ממוקמות לעיתים קרובות בנקודות הקצה; דילוג עליהן עשוי להוביל לתשובה שגויה.
השוו, לא סווג
- בניגוד לבדיקת הנגזרת הראשונה, בדיקת המועמדים אינה רואה אהבה מה סוג יש לכל נקודה.
- היא פשוט שואלת: מתוך כל הפלטים של המועמדים, האילו הם הגדולים והאלו הקטנים ביותר?
- חישוב אחד עבור כל מועמד, ולאחר מכן השוואה — נקי ואמין בתחום סגור.
- (היא דורשת תחום סגור; בתחום פתוח קיצון מוחלט עשוי שלא להתקיים.)
מבחן המועדמים דורש מרווח ____ , שבו EVT מבטיח קיום אקסטרימות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
על מרווח פתוח ייתכן שלא תתקיים אקסטרימה מוחלטת.
המקסימום המוחלט הוא המועמד עם ה-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שוונו פלטים $f(x)$, לא את הקלט.
בדיקת המועמדים דורשת תחום סגור $[a,b]$ וחובה לכלול את הקצוות. החישוב רק בנקודות הקריטיות מפספס קיצונים שנמצאים ב$a$ או ב$b$. והשווה $f$-ערכים, לא $x$-ערכים — המנצח הוא הגדול ביותר בפלט, בכל מקום שהוא מתקבל.
מצאו את הקיצונים המוחלטים של $f(x)=x^3-3x$ בתחום $[0,2]$.
- נקודות קריטיות בתחום $[0,2]$: $f'=3(x-1)(x+1)=0$ בנקודה $x=1$ (רק $x=1$ טווח זה).
- חשבו את המועמדים: $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$.
- מקסימום מוחלט $=2$ בנקודה $x=2$ (קצה); מינימום מוחלט $=-2$ בנקודה $x=1$.
בדיקת המועמדים מוצאת קיצונים מוחלטים בתחום סגור: רשמו את הנקודות הקריטיות ואת שני הקצוות, חשבו את $f$ בכל אחת מהן, והשוו. הערך הגדול ביותר = מקסימום מוחלט, הקטן ביותר = מינימום מוחלט. תמיד לכלול את הקצוות, ולהשוות פלטים, לא כניסות.