שימוש במבחן הנגזרת הראשונה לקביעת מקסימומים/מינימומים יחסיים (מקומיים)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| First Derivative Test/fɜːst dɪˈrɪvətɪv test/ | מבחן הנגזרת הראשונה |
| relative (local) maximum/ˈrelətɪv ˈmæksɪməm/ | מקסימום מקומי (יחסי) |
| relative (local) minimum/ˈrelətɪv ˈmɪnɪməm/ | מינימום מקומי (יחסי) |
סיווג נקודה קריטית לפי כיוון הפנייה של $f'$
- נקודה קריטית היא מועמד לקיצון — כעת אנו מחליטים איזה סוג זה.
- מבחן הנגזרת הראשונה קורא את שינוי הסימן של $f'$ באזור הנקודה.
- עלייה ולאחריה ירידה יוצרת שיא; ירידה ולאחריה עלייה יוצרת מינימום.
- הוא משתמש בטבלת הסימנים שלך מהשיעור האחרון — אין צורך בחישוב חדש.
חיובי → שלילי מצביע על מקסימום
- אם $f'$ משנה סימן מחיובי לשלילי בנקודה קריטית $c$, אזי ל-$f$ יש מקסימום יחסי (מקומי) שם.
- הפונקציה עלתה, השתווה והתרופפת — זהו פסגת הגבעה.
- לקרוא זאת ישירות מהטבלת הסימנים: $+$ שמאל של $c$, ו-$-$ ימינה.
- הערך המקסימלי הוא $f(c)$; המיקום הוא $x=c$.
מקסימום ולאחר מכן מינימום
y = ax³ + cx
הבליטה השמאלית היא מקסימום מקומי ($f'$ עולה מ-$+$ ל-$-$) והשקע הימני הוא מינימום מקומי (מ-$-$ ל-$+$).
אם $f'$ משנה סימה מחיובי לשלילי ב-$c$, אזי ל-$f$ יש...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עולה ואז יורד = פסגת גבעה = מקסימום מקומי.
שלילי → חיובי מצביע על מינימום
- אם $f'$ משנה סימן משלילי לחיובי ב-$c$, אזי ל-$f$ יש מינימום יחסי (מקומי) שם.
- ירידה, השוואה ואחריה עלייה — זהו תחתית העמק.
- טבלת סימנים: $-$ שמאלית ל-$c$, ו-$+$ לימינת $c$.
- אם $f'$ אינו משנה סימן ב-$c$, אין שם קיצון (נקודה שטוחה).
אם $f'$ משנה סימה משלילי לחיובי ב-$c$, אזי ל-$f$ יש ____ מקומי שם.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
יורד ואז עולה = תחתית עמק = מינימום מקומי.
התהליך
- מצאו נקודות קריטיות, בנו את טבלת הסימנים של $f'$, וקראו כל מעבר.
- $+\to-$: מקסימום מקומי. $-\to+$: מינימום מקומי. ללא שינוי: לא שום אחד מהם.
- עובד גם כאשר $f'$ מוגדר (פינה), כל עוד הסימן מתהפך.
- זהו הכלי הנפוץ ביותר באבחון הקיצונים במסלול AP.
אם $f'$ שומר על אותו סימן בשני צדדי נקודה קריטית, אין בה נקודת קיצון.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אין שינוי סימן (כמו $y=x^3$ ב-$0$) כלומר אין מקסימום או מינימום.
עבור $f(x)=x^3-3x$, הנקודה הקריטית $x=1$ היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כאשר $f'$ עובר מ$-\to+$ ב$x=1$ → ישנה מינימום מקומי.
עבור $f(x)=x^3-3x$, המקסימום המקומי נמצא ב-$x=-1$. מצאו את הערך המקסימלי $f(-1)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$.
בחרו את כל האמירות הנכונות לגבי מבחן הנגזרת הראשונה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מה שחשוב הוא שינוי הסימן, ולא הערך של $c$.
מה שמעניין הוא ה-שינוי בסימן, ולא הערך של $f'$ ב-$c$ (שהוא $0$ או מוגדר שם). אם $f'$ שומר על אותו סימן בשני הצדדים — כמו $y=x^3$ ב-$0$ (חיובי בשני הצדדים) — אין קיצון, למרות שהוא נקודה קריטית.
סווגו את הנקודות הקריטיות של $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$).
- ב-$x=-1$: $f'$ עובר מ-$+\to-$ (בדיקת $-2$ נותנת $+$, בדיקת $0$ נותנת $-$) → מקסימום מקומי.
- ב-$x=1$: $f'$ הופך ל-$-\to+$ (המבחן ב-$0$ נותן $-$, המבחן ב-$2$ נותן $+$) → מינימום מקומי.
- ערכים: מקסימום מקומי ב-$f(-1)=2$, מינימום מקומי ב-$f(1)=-2$.
המבחן לנגזרת הראשונה ממין נקודה קריטית על בסיס שינוי הסימן של $f'$: $+\to-$ הוא מקסימום מקומי, $-\to+$ הוא מינימום מקומי, ואין שינוי סימן משמעו שאין אקסטרום. פשוט קרא את הנקודות שבהן הגרף חוצה את ציר ה-x מהטבלת הסימנים שלך $f'$.