משפט הערך הקיצוני, מקסים גלובליים מול מקסים מקומיים, ונקודות קריטיות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| local (relative) extremum/ˈləʊkl ekˈstreməm/ | קיצון מקומי (יחסי) |
| global (absolute) extremum/ˈɡləʊbl ekˈstreməm/ | קיצון גלובלי (מוחלט) |
| critical points/ˈkrɪtɪkl pɔɪnts/ | נקודות קריטיות |
| Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | משפט הקיצונים |
שיאים, עמקים ומי להסתכל
- לגרף חלק יש נקודות גבוהות ונמוכות — הנגזרת היא הכלי למציאתן.
- קודם, כמה הגדרות: אקסטרום מקומי (יחסי) הוא שיא או עמק בהשוואה לנקודות קרובות.
- אקסטרום גלובלי (מוחלט) הוא הנקודה הגבוהה או הנמוכה ביותר החד-משמעית ב-כל התחום.
- המועמדים לשניהם הם כניסות מיוחדות הנקראות נקודות קריטיות.
"מקסימום מקומי (יחסי)" הוא נקודה הגבוהה בהשוואה ל-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מקומי = בהשוואה לנקודות סמוכות; גלובלי = לאורך כל המרווח.
משפט הערך הקיצוני
- משפט הערך הקיצוני (EVT) מבטיח קיום ערכים קיצוניים — תחת תנאי מסוים.
- אם $f$ היא רציפה בקטע סגור $[a,b]$, אזי $f$ מקבלת מקסימום מוחלט וגם מינימום מוחלט ב-$[a,b]$.
- רציפות + מרווח סגור הם הכניסה; אם חסר אחד מהם, ייתכן שלא יהיה מקסימום או מינימום.
- משפט הערך הקיצוני אומר שיש קיום; הנגזרת עוזרת לך למצוא אותם.
ה-EVT מבטיח מקסימום ומינימום כאשר $f$ רציפה על מרווח ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נדרש רצילות לצד מרווח סגור.
נקודות קריטיות: שם ערכים קיצוניים יכולים להסתתר
- נקודה קריטית היא פנימי $x$ שבו $f'(x)=0$ או $f'(x)$ אינם קיימים.
- $f'=0$: מגע אופקי (שיא או שקע חלק). $f'$ לא מוגדר: פינה או נקודת קצה.
- ערכים קיצוניים מקומיים יכולים להתרחש רק בנקודות קריטיות — באין מקום אחר בתוך המרווח.
- אז כדי לחפש ערכים קיצוניים, קודם לפתור $f'(x)=0$ ולשים לב היכן $f'$ אינו מוגדר.
בנקודות בהן השיפוע הוא אפס
y = ax³ + cx
בקצה מקומי או בשפל, המגע הוא אנכי ($f'=0$) — הנקודות הללו הן הנקודות הקריטיות.
נקודה קריטית היא פנימי $x$ שבו...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נקודות קריטיות: $f'=0$ או $f'$ לא מוגדר.
מקומי מול גלובלי — אל תבלבשו ביניהם
- מקסימום מקומי הוא גבוה יותר מהשכנים המיידיים שלו; מקסימום גלובלי הוא הגבוה ביותר בכל המקום ב$[a,b]$.
- ערך קיצוני גלובלי במרווח סגור נמצא בנקודה קריטית או בקצה מרווח.
- לא כל נקודה קריטית היא ערך קיצוני (מגע אופקי יכול להיות נקודה שטוחה בעקומה עולה).
- מקומי וגלובלי הן שאלות שונות — נקודה יכולה להיות אחת מבלי להיות השנייה.
מצאו את כל הנקודות הקריטיות של $f(x)=x^3-3x$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(x)=3(x-1)(x+1)=0$ ב-$x=\pm1$.
כל נקודה שבה $f'(x)=0$ היא מקסימום או מינימום מקומי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ל-$y=x^3$ ב-$0$ יש $f'=0$ אך אין קיצון — נקודה קריטית היא רק מועמדת.
על מרווח סגור, קיצון מוחלט חייב להתרחש בנקודה קריטית או ב-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בדוקו נקודות קריטיות וגם את שתי הקצוות.
$f'(c)=0$ לא מבטיח ערך קיצוני ב$c$. העקומה $y=x^3$ יש לה $f'(0)=0$, אך $x=0$ אינה ни max nor min — רק נקודת מעבר שטוחה. נקודה קריטית היא רק מועמד; עליך לבדוק אותה (שיעורים 5.4, 5.7). ומשפט הערך הקיצוני דורש גם רציפות וגם מרווח סגור.
מצאו את הנקודות הקריטיות של $f(x)=x^3-3x$.
- $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
- הניחו $f'(x)=0$: $x=1$ ו$x=-1$ — שתי נקודות אלו נותנות מגע אופקי.
- $f'$ מוגדר בכל מקום (פולינום), לכן שתי נקודות אלו הן הנקודות הקריטיות היחידות.
משפט הערך הקיצוני: פונקציה רציפה על מרווח סגור מקבלת מקסימום ומינימום מוחלט. אלו, וכל הערכים הקיצוניים המקומיים, מתרחשים רק בנקודות קריטיות ($f'=0$ או לא מוגדר) או בקצוות המרווח. נקודה קריטית היא מועמד, לא הבטחה — תמיד בדקו אותה.