שימוש במשפט הערך הממוצע
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | משפט הערך הממוצע |
במשהו מהרגע, הוא מתאים לממוצע
- נסע $120$ ק"מ ב$2$ שעות: מהירות הממוצע שלך היא $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
- בזמן כלשהו מדד המהירות חייב היה להציג בדיוק $60$ — לא ניתן לקיים ממוצע של $60$ מבלי לעבור דרכו.
- העובדה האינטואיטיבית הזו היא משפט הערך הממוצע (MVT).
- הוא מקשר בין קצב שינוי ממוצע על מרווח לבין קצב רגעی באיזה שהיא נקודה בתוכו.
ההנחות באותו קודם
- MVT דורש ש$f$ רציף ב$[a,b]$ וגם ניתן לנזילה ב$(a,b)$.
- אם שניהם מתקיימים, יש לפחות נקודה אחת $c$ ב$(a,b)$ עם
-
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- האגף השמאלי הוא קצב רגעی; האגף הימני הוא קצב ממוצע על $[a,b]$.
המשפט על $[a,b]$ דורש איזה הנחות?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
רציף על התחום הסגור וגזיר בתחום הפתוח. ($f(a)=f(b)$ היא תנאי הנוסף של רול.)
המשפט מבטיח נקודת $c$ שבה $f'(c)$ שווה ל...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, קצב השינוי הממוצע.
מגע מקביל למחבר
- צד ימין מייצג את שיפוע הקו החוצה המחבר בין הקצוות.
- לכן, משפט ערך הממוצע מבטיח נקודה שבה המשיק מקביל לקו החוצה זה.
- גיאומטרית: במיקום כלשהו שיפוע העקומה שווה לשיפוע הממוצע הכולל.
- כמו משפט ערך הביניים, זהו משפט קיום — הוא מבטיח קיום $c$, לא את ערכו.
משיק מקביל למחבר
y = x²
במקום כלשהו בתוך התחום, שיפוע המשיק תואם את שיפוע הממוצע (של המחבר) — נקודה זו היא ה$c$ המובטח על ידי משפט הערך הממוצע.
גיאומטרית, משפט הערך הממוצע מבטיח נקודת מגע מקבילה לישר ה____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המגע בנקודה $c$ מקביל למיתר המחבר את הקצוות.
מציאת $c$ המובטחת
- למצוא $c$: השוו $f'(c)$ לקצב הממוצע ופתור עבור $c$ ב $(a,b)$.
- תחילה בדוק את ההנחות (רציפות + נגזרות) — התעלם מכך והמשפט אינו חל.
- פסול כל פתרון שאינו נמצא בתוך הפתוח $(a,b)$.
- משפט ערך הממוצע הוא המנוע מאחורי תוצאות מאוחרות רבות (כמו "אם $f'=0$ בכל מקום, אז $f$ היא קבועה").
עבור $f(x)=x^2$ ב$[2,6]$, מצא את ה$c$ המובטח על ידי MVT.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ממוצע $=\frac{36-4}{4}=8$; $2c=8\Rightarrow c=4\in(2,6)$.
אם ל-$f$ יש פינה בתוך $(a,b)$, עדיין מבטיחים שהמשפט יחול.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פינה שוברת נגזירות, ולכן ההנחות אינן מתקיימות ומשפט הערך הממוצע עשוי לא לחול.
כמו משפט הערך התחומי, מה סוגו של משפט הערך הממוצע?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זה מבטיח שקיים $c$ כזה (אולם כאן לעיתים קרובות ניתן למצוא אותו).
שתי ההנחות נדרשות. אם ל-$f$ יש פינה (לא נגזרת) או קריעה (לא רציפה) בתחום, משפט ערך הממוצע עלול לכשל — ייתכן שלא יהיה כזה $c$. תמיד ודא כי $f$ רציף ב $[a,b]$ וגם נגזר ב $(a,b)$ לפני היישום.
עבור $f(x)=x^2$ ב$[1,3]$, מצא את ה$c$ המובטח על ידי MVT.
- קצב ממוצע: $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$.
- $f'(x)=2x$, ולכן הגדר $2c=4\Rightarrow c=2$.
- $c=2$ נמצא ב $(1,3)$ ✓ — שם שיפוע המשיק שווה לשיפוע הממוצע $4$.
משפט ערך הממוצע: אם $f$ רציף ב $[a,b]$ ו-נגזר ב $(a,b)$, ישנם מספר $c\in(a,b)$ עם $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — קצב רגעی השווה לקצב הממוצע, כלומר משיק מקביל לחוצה. בדוק את ההנחות, ולאחר מכן פתור $f'(c)=$ ממוצע עבור $c$.