שימוש בחוק לופיטל לקביעת גבולות של צורות לא מוגדרות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/ | כלל לופיטל |
| indeterminate forms/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːmz/ | צורות לא קבועות |
טריק נגזרות לגבולות עיקשים
- בחזרה ליחידה 1, $\tfrac00$ פירוש "הקלטה על ידי אלגברה". לעיתים אלגברה אינה עוזרת.
- חוק ל'ופיטאל משתמש בנגזרות כדי לפתור גבולות עיקשים אלו.
- הוא חל על צורות לא-מדויקות $\tfrac00$ ו$\tfrac{\infty}{\infty}$.
- הרעיון: להחליף את היחס בין הפונקציות ביחס הנגזרות שלהן.
בדוק את הצורה תחילה
- חוק ל'ופיטאל חל רק על צורה לא-מדויקת אמיתית: $\dfrac00$ או $\dfrac{\infty}{\infty}$.
- הצבה ישירה תחילה כדי לוודא שיש לך אחת — אם הצבה ישירה נותנת כבר מספר, סיימת, וחוק זה לא חל.
- שימוש בו בגבול שאינו לא-מדויק (כמו $\tfrac{5}{2}$) יניב תשובה שגויה.
- לכן תמיד ודא את הצורה לפני שמשתמש בחוק.
חוק לופיטל חל על איזה סוגים של צורות לא מוגדרות?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
רק $\tfrac00$ ו$\tfrac\infty\infty$. $\tfrac52$ הוא כבר מוגדר; $\tfrac30$ הוא אסימפטוטה ולא צורה לא מוגדרת.
לפני יישום החוק, ודא שהגבול הוא צורת ____ על ידי הצבה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רק $\tfrac00$ או $\tfrac\infty\infty$ מתאימים.
נגזור למעלה ולמטה בנפרד
- החוק: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$(כשהצורה לא-מדויקת).
- אזהרה: זהו לא חוק המנה — נגזור את $f$ ואת $g$ בנפרד, אין מינוס, אין $g^2$.
- לאחר מכן, חשב מחדש את הגבול החדש והפשוט יותר.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$ — הגבול המפורסם, בשורה אחת.
יחס 0/0 עם גבול ממשי
y = sin(x)/x (סמוך ל-0)
$\tfrac{\sin x}{x}$ נראה כמו $\tfrac00$ ב-$0$ אך המעקל נוטה בצורה חלקה לעבר $1$ — L'Hospital מוצא ערך זה במהירות.
חוק לופיטל משתמש בכלל המנה $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ על המונה והמכנה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הוא גוזר $f$ ו$g$ בנפרד: $\tfrac{f'}{g'}$, ולא את כלל המנה.
חשב את $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$ באמצעות החוק.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac00\Rightarrow\lim\tfrac{e^x}{1}=e^0=1$.
על פי חוק לופיטל, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\cos 0=1$.
חזור אם עדיין אי-ודאי
- אם היחס החדש $\tfrac{f'}{g'}$ הוא גם כן $\tfrac00$ או $\tfrac\infty\infty$, יישם את הכלל שוב.
- המשיך בנזילה של המונה והמכנה עד תקבל ערך נקוב.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\tfrac12$ (שתי יישומים).
- כל מחזור חייב להיות עדיין אי-ודאי כדי להצדיק יישום נוסף.
יישום החוק פעמיים, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=$ ? (מספר עשרוני)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\to\tfrac{\sin x}{2x}\to\tfrac{\cos x}{2}=\tfrac12$.
$\dfrac{f'}{g'}$ הוא לא כלל המנה. ל’הופיטל נזיל את המונה והמכנה בנפרד: $\frac{d}{dx}[f]$ מעל $\frac{d}{dx}[g]$ — ללא $\frac{f'g-fg'}{g^2}$. ויש להשתמש בו רק ב$\tfrac00$ או ב$\tfrac{\infty}{\infty}$; יישום שלו כאשר הגבול כבר נקוב מניב תוצאה חסרת משמעות.
חשב את $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$.
- הצבה: $\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$ — אי-ודאי, ולכן חל ל’הופיטל.
- נזל את המונה והמכנה: $\dfrac{e^x}{1}$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$.
כלל ל’הופיטל: עבור צורות אי-ודאיות $\tfrac00$ או $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ — נזל את המונה והמכנה בנפרד (לא כלל המנה) וחשב מחדש. ודא תחילה את הצורה, וחזור על הכלל כל עוד התוצאה נשארת אי-ודאית.