הערכת ערכים באמצעות קווייות מקומית וליניאריזציה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | משיק |
| local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/ | קויריות מקומית |
| linearization/ˌlɪnɪəraɪˈzeɪʃn/ | ליניאריזציה |
התקרוב מספיק והעקומה נראית ישרה
- בחר כל עקומה חלקה, התקרב לנקודה אחת, והיא הופכת לשטוחה (מעט) לישרה.
- הישר הזה הוא משיק, ובקרבת הנקודה הוא צמוד לעקומה בחוזקה.
- לכן המשיק הוא הערכה מצוינת לפונקציה בסביבתה — זהו קויות מקומית.
- זה מאפשר לך להעריך ערכים קשים של פונקציה באמצעות שיפוע ונקודה בלבד.
המשיק חובק את העקומה
y = √x
קרוב לנקודת המגע, הישר והמעקל חופפים זה עם זה כמעט לחלוטין — דיוק זה הוא הסיבה לכך ש-$L(x)$ מקרב את $f(x)$.
הרעיון לפיו עקומה חלקה נראית ישרה כשמתבוננים בה מקרוב נקרא ליניאריזציה ____ מקומית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הקווייות המקומית היא הבסיס להערכת המשיק.
בניית המשיק
- המשיק ב-$x=a$ עובר דרך $\big(a,f(a)\big)$ עם שיפוע $f'(a)$.
- הצורה נקודת-שיפוע נותנת את הליניארית:
-
$$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$
- ביטוי זה $L(x)$ הוא פשוט המשיק, שנקרא מחדש כנוסחת הערכה.
הליניאריזציה של $f$ בנקודה $a$ היא $L(x)=$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
משוואת המשיק בצורת נקודה-שיפוע: $f(a)+f'(a)(x-a)$.
הערכת ערך סמוך
- כדי להעריך $f(x)$ עבור $x$ קרוב ל-$a$, חשב במקום זאת $L(x)$ — זהו לרוב חישוב פשוט.
- בחר ב-$a$ נקודה סמוכה שבה $f(a)$ ו-$f'(a)$ הם פשוטים (מספר "נעים").
- ככל שה-$x$ קרובה יותר ל-$a$, כך ההערכה טובה יותר.
- לדוגמה: כדי להעריך $\sqrt{4.1}$, השתמש ב-$f(x)=\sqrt x$ ב-$a=4$, שם $f(4)=2$ הוא נקי.
באמצעות $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$, הערך $\sqrt{4.1}=L(4.1)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
הערכת יתר או חסר? בדוק את הקעירות
- המשיק ממוקם בצד אחד של גרף מעוקל, ולכן $L(x)$ נוטה לכיוון אחד.
- קעור למעלה (העקומה מתכופפת כלפי מעלה, $f''>0$): המשיק נמצא מתחת לעקומה → $L$ הוא הערכת חסר.
- קעור למטה ($f''<0$): המשיק נמצא מעל העקומה → $L$ הוא הערכת יתר.
- בדיקת החתימה של $f''$ אומרת לך באיזה כיוון ההערכה שלך שגויה.
אם $f$ קעורה כלפי מטה בקרבת $a$, ההערכה הקווית $L(x)$ היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קעירות כלפי מטה → המשיק מעל העקומה → הערכת יתר.
ליניאריזציה מדויקת ביותר עבור ערכי כניסה הרחק מנקודת המשיק.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
היא מדויקת ביותר קרוב לנקודת המשיק; הדיוק פוחת ככל שמרחיקים.
בחרו את כל המסקנות הנכונות לגבי הערכה למטה/מעלה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מעלה → המשיק מתחת → הערת חסר; מטה → המשיק מעל → הערת יתר; שניהם נקבעים על ידי $f''$.
ליניאריזציה מדויקת רק קרוב לנקודת המגע — רחוק מ$a$, הקו הישר מתרחש מהעקומה. והחלטה על הערכה גבוהה/נמוכה תלויות בקמירות: קמורה כלפי מעלה → משיק מתחת → הערכת חסר; קמורה כלפי מטה → הערכת עודף. אל תנחש את הכיוון; בדוק את סימן $f''$.
העריך $\sqrt{4.1}$ באמצעות ליניאריזציה ב$a=4$.
- $f(x)=\sqrt x=x^{1/2}$, ולכן $f'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt x}$; $\;f(4)=2$, $\;f'(4)=\tfrac14$.
- $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$, ולכן $L(4.1)=2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
- מכיוון ש$\sqrt x$ היא קמורה כלפי מטה ($f''<0$), זוהי הערכת עודף קלה (הערך האמיתי $\approx2.0248$).
קוויאריות מקומית מאפשרת למשיק לקרוב לפונקציה בקרבת נקודה. הליניאריזציה היא $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$; השתמש בה להעריך $f(x)$ עבור $x$ בקרבת $a$. הקמירות קובעת כיוון השגיאה: קמורה כלפי מעלה → הערכת חסר, קמורה כלפי מטה → הערכת עודף.