שיטות בחירה לחישוב נגזרות
הוצגיש לך ערכת כלים — עכשיו בחר הכלי
- עד כה יש לך כללי נגזרות של חזקה, מכפלה בקבוע, סכום/הפרש, מכפלה, מנה, שרשרת ונגזרות יסודיות.
- המיומנות במבחן היא בחירת הכלל הנכון מהר, ושילוב כללים בסדר תקין.
- נגזרת שנראית מבולגנת לרוב קלה מאוד ברגע שמזהים את המבנה שלה.
- שיעור זה הוא מדריך החלטות לקריאת המבנה הזה.
קרא תחילה את המבנה החיצוני ביותר
- שאל: ברמה העליונה ביותר, האם זהו סכום, מכפלה, מנה או הרכבה?
- סכום/הפרש → נגזור איבר באיבר.
- מכפלה → כלל המכפלה; מנה → כלל המנה.
- הרכבה (פונקציה בתוך פונקציה) → כלל השרשרת, פרוק מחוץ לפנים.
קראו את המבנה, בחרו את הכלל
y = a / (x − b)
האם העקומה נובעת מכפלה, מנה או הרכבה משנה את הכלל שיש להשתמש בו — קראו תחילה את הרמה העליונה.
איזה כלל דורש $y=x^2\sin x$ ברמה העליונה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זו מכפלה של $x^2$ ו-$\sin x$ → כלל המכפלה.
המבנה ברמה העליונה של $\dfrac{\sin x}{x^2}$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זו $\sin x$ חלקי $x^2$ — מנה (או ניתן לכתוב מחדש כ-$x^{-2}\sin x$).
התאימו כל פונקציה לכלל הרמה העליונה שהיא דורשת.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
קראו את הפעולה החיצונית ביותר: איבר-לעיר, מכפלה, מנה או הרכבה.
שלב כללים בסדר הנכון
- פונקציות אמיתיות מקננות כללים: מכפלה שגורמים בה הם הרכבות, מנה עם שרשרת בפנים.
- עבוד מחוץ לתוך: יישם תחילה את הכלל ברמה העליונה, ואז טפל בכל חלק משני עם הכלל שלו.
- $\dfrac{d}{dx}\big[x^2\sin(3x)\big]$: כלל המכפלה ראשונה, וגורם ה-$\sin(3x)$ זקוק לכלל השרשרת → $2x\sin(3x)+x^2\cos(3x)\cdot3$.
- שמור על נגזרות משניות בתאים מסומנים כדי שלא יאבד דבר.
פשטו תחילה את $\dfrac{x^2+x}{x}$, ואז גזרו. מהי הנגזרת?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{x^2+x}{x}=x+1$, ולכן הנגזרת היא $1$ — אין צורך בכלל המנה.
עבור פונקציות מקוננות, יישמו כללים בעבודה מ-____ כלפי פנים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
טפלו תחילה במבנה החיצוני ביותר, ואז בכל חלק משני.
פשט חכם, ואז בדוק הגיון
- לפני שמתחילים, שאל אם אלגברה יכולה להקל: פתח מכפלה קטנה, או חלק שבר לסכום איברים.
- $\dfrac{x^2+x}{x}=x+1$, ולכן הנגזרת שלו היא פשוט $1$ — אין צורך בכלל המנה.
- אחרי הנגזירה, בדוק את ההגיון: מספר האיברים נכון, סימנים סבירים, יחידות סבירות.
- בחירה נכונה בהתחלה עדיפה על ביצוע מכני של הכלל הקשה ביותר באופן רפלקסי.
לאחר הגזירה, בדיקת התשובה לגבי סבירותה (מספר איברים, סימנים) היא שיטה טובה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בדיקת הגיון מהירה תופסת הרבה טעויות.
התאם את הכלל למבנה ברמה העליונה, ולא לסמן הראשון שרואים. $\dfrac{\sin x}{x^2}$ הוא מכפלה (השתמש בכלל המכפלה או מ改写 ל$x^{-2}\sin x$ לכלל המכפלה) — זהו לא פשוט "הנגזרת של $\sin$". קריאה שגויה של המבנה תוביל אותך לכלל שגוי לחלוטין.
גזרו את $y=\dfrac{e^{x}}{x^2+1}$.
- המבנה העליון הוא מנה: $f=e^x$, $g=x^2+1$.
- $f'=e^x$, $g'=2x$ (ה- $g'$ הוא שלב משני פשוט של כלל החזקות).
- $y'=\dfrac{e^x(x^2+1)-e^x(2x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}$.
בחירת הליך: קרא את המבנה העליון – סכום, מכפלה, מנה או הרכבה – והפעל את הכלל הרלוונטי תחילה, לאחר מכן טפל בכל חלק משני בעזרת הכלל המתאים לו, תוך עבודה מהחוץ לפנים. פשט באלגברה כאשר זה חסכוני יותר, ובדוק את התוצאה מבחינת היגיון.