מציאת הנגזרות של פונקציות טנגנס, קוטנגנס, סקאנט וקוסקאנט
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | טריגונומטרי |
הארבע פונקציות טריגונומטריות האחרות
- אנו יודעים $\sin'=\cos$ ו$\cos'=-\sin$. הארבע הפונקציות הטריגונומטריות האחרות הן כולן מנות של אלו.
- לכן חוק המנה גזור את הנגזרות שלהן — אין קסם חדש, רק אלגברה מדוקדקת.
- $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\dfrac1{\cos x}$, $\csc x=\dfrac1{\sin x}$.
- למד את ארבע התוצאות, אך זכור שהן נגזרות מחוק המנה.
ארבע הנגזרות הללו מתקבלות כולן באמצעות...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כל אחת מ-$\tan,\cot,\sec,\csc$ היא מכפלת של $\sin$/$\cos$.
גזירת $\tan x$
- $\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{\sin x}{\cos x}\right]$.
- חוק המנה: $\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}$.
- מכיוון ש$\cos^2 x+\sin^2 x=1$: $=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$.
- לכן $\boxed{\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x}$, ובאופן דומה, $\dfrac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$.
גל הסינוס שממנו נובע היחס המייצר את הטנגנס
$\tan x=\sin x/\cos x$; הנגזרת שלו $\sec^2 x$ היא תמיד חיובית — הטנגנס עולה בכל מקום בו מוגדר.
מהו $\dfrac{d}{dx}[\tan x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מחוקק המנה ב-$\sin/\cos$: $\sec^2 x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cot x]=$ ____ $\csc^2 x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי $-\csc^2 x$.
זוג הסינוס החוצי והקוסין החוצי
- $\dfrac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$.
- תבנית: פונקציות "co-" ($\cos,\cot,\csc$) כולן נשאו מינוס בנזיר שלהן.
- כל אחת מארבע הפונקציות הללו נובעת גם כן מיישום כלל המנה על $\tfrac1{\cos}$ או $\tfrac1{\sin}$.
מהו $\dfrac{d}{dx}[\sec x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
לנגזרות של $\cot x$ ו-$\csc x$ יש שני סימני חסר.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$-\csc^2 x$ ו-$-\csc x\cot x$ — הפונקציות "קו-" כוללות סימן חסר.
שימוש בהן עם כללים אחרים
- נזירים טריגונומטריים אלו משתלבים עם כלל המכפלה וכלל המנה כמו כל נזיר אחר.
- $\dfrac{d}{dx}[x\tan x]=\tan x+x\sec^2 x$ (כלל המכפלה).
- $\dfrac{d}{dx}[3\sec x-\cot x]=3\sec x\tan x+\csc^2 x$.
- שמור את ארבעת התוצאות המוקפלות בקלות יד; הן מופיעות בכל רחבי הקורס.
בחר את כל הנגזרות הנכונות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
האחרון שגוי: זהו $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, ולא $\sec^2 x$.
שימו לב לסימני המינוס בפונקציות "co-": $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$ ו-$\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$ שניהם נושאים מינוס, בדיוק כמו $\cos'=-\sin$. בלבול בין $\sec^2 x$ (מהמקור $\tan$) לבין $\csc^2 x$ (מהמקור $\cot$) הוא טעות נפוצה נוספת — התאימו כל נזיר למקור שלו.
גזרו את $y=x^2\sec x$.
- כלל המכפלה עם $f=x^2$, $g=\sec x$: $f'=2x$, $g'=\sec x\tan x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\sec x+x^2\sec x\tan x$.
- גורם משותף: $y'=x\sec x\,(2+x\tan x)$.
ארבעת הנזירים הטריגונומטריים הנוספים כולם נובעים מכלל המנה: $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$, $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$, $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$. לפונקציות "co-" יש מינוס. שלבו אותן בחופשיות עם כללי המכפלה והמנה.