כלל המנה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Quotient Rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | כלל מנה |
| rational expression/ˈræʃənl ekˈspreʃn/ | ביטוי רציונלי |
חילוק פונקציות דורש זהירות
- כמו שמכפלות דורשות את כלל המכפלה, מנה דורשת את כלל המנה.
- אין לגזור את המונה והמכנה בנפרד ולהחליף — זה שגוי.
- הכלל מטפל בביטוי רציונלי $\dfrac{f}{g}$ של שתי פונקציות.
- המונה שלו מכיל חסר, ולכן הסדר והסימנים חשובים מאוד.
הכלל
-
$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}$$
- מונה: "גזירת המונה כפול המכנה, מינוס המונה כפול גזירת המכנה."
- מכנה: המכנה המקורי, בריבוע.
- נקודת זיכרון: "נמוך d-גבוה מינוס גבוה d-נמוך, על נמוך-ריבוע."
מונה כלל המנה עבור $\dfrac{f}{g}$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המונה הוא $f'g-fg'$, על $g^2$.
בכלל המנה, המכנה של התשובה הוא $g$ ____ (לאילו חזקה?).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המכנה הוא $g^2$.
בחר את כל הטענות הנכונות לגבי כלל המנה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$g^2\ge0$ תמיד, ולכן לעולם אינו משנה את הסימן.
הסדר הוא הכל
- המונה הוא $f'g - fg'$, לא $fg' - f'g$ — החלפתם הופכת כל סימן.
- תמיד כתוב את הביטוי $f'g$ ראשון; כך הקביעת הסדר מובטחת וטעויות סימן נמנעות.
- המכנה $g^2$ הוא תמיד חיובי, ולכן הוא לעולם לא משנה את הסימן של התשובה.
- שמור על התווית של החלקים: $f,f',g,g'$ לפני ההרכבה.
עקומה רציונלית לנגזירה
y = a / (x − b)
לעקומה רציונלית כמו $\dfrac{x^2}{x+1}$ יש שיפוע שמחשב כלל המנה — שימו לב לאסימפטוטה האנכית שבה המכנה מתאפס.
כתיבת המונה כ-$fg' - f'g$ (הפוך) נותנת אותה תשובה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפיכת הסדר משנה את סימן כל המונה — זו טעות סימן.
גזרו את $y=\dfrac{x}{x+1}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
לעיתים מכפלה קלה יותר
- מנה $\dfrac{f}{g}$ ניתן לשינוי למכפלה $f\cdot g^{-1}$ ולביצוע עם חוקי המכפלה והחזקה.
- עבור מכנים פשוטים זה יכול להיות מהיר יותר: $\dfrac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$.
- אך עבור מנות אמיתיות של שתי פונקציות כמו $\dfrac{\sin x}{x}$, חוק המנה הוא הדרך הנקייה ביותר.
- בחר בכל אלו שימנע אלגברה מסורבלת יותר.
המנה $\dfrac{x}{x^2}$ נגזרת במהירות הרבה יותר על ידי...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$ — פשוט יותר מכלל המנה במקרה זה.
מונה חוק המנה הוא $f'g - fg'$ — הסדר והסימן המינוס הם כול העניין. כתיבת $fg' - f'g$ (הפוך) תפך את התשובה שלך. ואל תשכח גם לרבע את המכנה. שתי הטעויות הללו הן נפוצות מאוד בתנאי לחץ זמן.
גזרו את $y=\dfrac{x^2}{x+1}$.
- $f=x^2\Rightarrow f'=2x$; $\quad g=x+1\Rightarrow g'=1$.
- $y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{2x(x+1)-x^2(1)}{(x+1)^2}$.
- $=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.
חוק המנה: $\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$ — "נמוך d-גבוה מינוס גבוה d-נמוך, על נמוך-ריבוע." שמור על הסדר של המונה ($f'g$ ראשון) ורבע את המכנה. במקרים פשוטים, שינוי לצורת מכפלה $f g^{-1}$ עשוי להיות קל יותר.