כלל המכפלה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Product Rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | כלל מכפלה |
מדוע מכפלות זקוקות לכלל משלהן
- מפתה אך שגוי: הנגזרת של מכפלה היא לא מכפלת הנגזרות.
- $\dfrac{d}{dx}[x\cdot x]=\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$, אך $f'g'=1\cdot1=1$. הן אינן מסכימות.
- למכפלות יש כלי משלהן: כלל המכפלה.
- הוא לוקח בחשבון שני הגורמים השונים בו-זמנית.
הגזירה של $f\cdot g$ שווה ל$f'\cdot g'$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זהו $f'g+fg'$, ולא $f'g'$.
הכלל
- עבור מכפלה של שתי פונקציות:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f\,g\big]=f'\,g+f\,g'$$
- במילים: "נגזרת הראשונה כפול השנייה, כולל הראשונה כפול נגזרת השנייה."
- כל איבר מגזר גורם אחד ומשאיר את השני ללא שינוי; לאחר מכן מחברים.
כלל המכפלה קובע $\dfrac{d}{dx}[fg]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גזרת הראשון כפול השני, פלוס הראשון כפול גזרת השני.
דוגמה פתורה מסודרת
- גזר את $y=x^2\,e^x$. נניח כי $f=x^2$ ו-$g=e^x$.
- $f'=2x$, $g'=e^x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\,e^x+x^2\,e^x$.
- פקטריי אם נדרש: $y'=x e^x(2+x)$.
שינוי הנטייה של מכפלה
y = ax² + bx
למכפלה כמו $x^2 e^x$ יש נטייה המשלבת שני הגורמים — כלל המכפלה תופס את השינויים בשניהם בו-זמנית.
גזרו את $y=x^2 e^x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'g+fg'=2x e^x+x^2 e^x$.
עבור $y=x\sin x$, השתמש בכלל המכפלה כדי למצוא את $y'$ בנקודה $x=0$. (זכור: $\sin 0=0$, $\cos 0=1$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y'=\sin x+x\cos x$; בנקודה $0$: $0+0\cdot1=0$.
מתי באמת צריך זאת
- אם מכפלה ניתנת לפיתוח קודם, עשה זאת — זה עשוי להיות קל יותר ($x^2\cdot x^3=x^5\Rightarrow5x^4$).
- אך כאשר הפקטורים לא מצטמצמים (כמו ב$x^2\sin x$ או ב$e^x\ln x$), יש להשתמש ב-כלל.
- שלב אותו בחופשיות עם כלל החזקה וגזירות יסודיות עבור כל פקטור.
- תן תווית ל$f,f',g,g'$ תחילה — חשבונאות מסודרת מונעת טעויות.
עבור $y=x^2\cdot x^3$, הצעד החכם הראשון הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פשט ל$x^5$ קודם זה קל יותר: $5x^4$. השתמש בכלל המכפלה רק כאשר גורמים לא יכולים להתאחד.
בכל איבר מכלל המכפלה, מה נכון?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
גורם אחד לכל איבר נגזר; שני האיברים מוספים. נגזירה של שני האיברים באיבר אחד היא טעות קלאסית.
כלל המכפלה הוא $f'g+fg'$, ולא $f'g'$. שני האיברים נדרשים, והכל אחד מהם משמר את הפקטור השני כלא-גזור. טעות נפוצה מאוד היא לגזור את שני הפקטורים באותו איבר — אל תעשה זאת. בדיוק פקטור אחד גוזר בכל איבר.
גזרו את $y=(3x^2)(\sin x)$.
- $f=3x^2\Rightarrow f'=6x$; $\quad g=\sin x\Rightarrow g'=\cos x$.
- $y'=f'g+fg'=6x\sin x+3x^2\cos x$.
- אף אחד מהפקטורים לא ניתן לצמצום, ולכן שימוש בכלל המכפלה היה הכרחי.
כלל המכפלה: $\frac{d}{dx}[fg]=f'g+fg'$ — גזור פקטור אחד בכל פעם וחבר. השתמש בו כאשר מכפלה של פונקציות הניתנות לגזירה לא ניתנת לפישוט קודם. זו אינה $f'g'$; כל איבר גוזר בדיוק פקטור אחד.