חוקי נגזרות: קבוע, סכום, הפרש והכפלה בקבוע
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | פולינום |
ארבעה חוקים שמפרקים פולינום
- חוק המעריכים מטפל באיבר אחד. כדי לגזור פולינום שלם יש לשלב את האיברים.
- ארבעה חוקים פשוטים מאפשרים לבצע זאת לפי איברים, בראשכם.
- הם מכסים קבועים, סכומים, הפרשים ומקדמים.
- יחד עם חוק המעריכים, הם מגזרים כל פולינום במעבר אחד.
קבוע, סכום והפרש
- חוק הקבוע: הנגזרת של קבוע היא $0$. קו שטוח יש לו שיפוע אפס: $\dfrac{d}{dx}[7]=0$.
- חוק הסכום: $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+g'$ — גזרו כל חלק והוסיפו.
- חוק ההפרש: $\dfrac{d}{dx}[f-g]=f'-g'$ — אותו דבר, עם מינוס.
- כך ניתן לפרק ביטוי ארוך ולטפל בכל איבר בנפרד.
מהו $\dfrac{d}{dx}[12]$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הגזירה של כל קבוע היא $0$.
על פי כלל הסכום, $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גזור כל חלק והוסף.
כפולה קבועה
- חוק הכפולה הקבועה: המקדם פשוט נשאר במקומו: $\dfrac{d}{dx}[k\,f]=k\,f'$.
- $\dfrac{d}{dx}[5x^3]=5\cdot 3x^2=15x^2$.
- המספר מול הסימן אינו משתנה במהלך הגזירה; רק החלק של $x$ מתעצב.
- לשלב עם חוק הסכום: $\dfrac{d}{dx}[5x^3-4x]=15x^2-4$.
פולינום מערכה שלישית ושיפוע השתנות
y = ax³ + bx
הגזירה של פולינום היא פולינום אחר — גרור את המקדמים ותחזה היכן השיפוע חיובי או שלילי.
אם $f(x)=5x^3$, מצאו $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(x)=15x^2$, ולכן $f'(2)=15\cdot4=60$.
עבור $\dfrac{d}{dx}[4x^2+3x-8]$, בחר את כל הגזירות הנכונות לאיברים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הקבוע $-8$ מגזר ל$0$, לא ל$-8$.
גזרו פולינום במעבר אחד
- קרא את הפולינום איבר אחר איבר, ויישם את חוק החזקה והמקדמים בהמשך.
- $\dfrac{d}{dx}[3x^4-2x^2+7x-9]=12x^3-4x+7-0=12x^3-4x+7$.
- שים לב שהקבוע $-9$ נעלם, וה-$7x$ הופך ל-$7$.
- עם תרגול תוכל לגזור ישירות, מבלי צורך בחישובים משניים.
גזרו את $f(x)=3x^4-2x^2+7x-9$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
איבר איבר: $12x^3$, $-4x$, $+7$, והקבוע $\to 0$.
כלל הסכום מאפשר לך לחשב $\dfrac{d}{dx}[f\cdot g]$ כ$f'\cdot g'$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כללי סכום/הפרעה מתפצלים רק ב$+$ וב$-$; מכפלה דורשת את כלל המכפלה.
אין כאן "קיצור לחוק מכפלה": $\frac{d}{dx}[f\cdot g]$ הוא לא $f'\cdot g'$. חוקי הסכום/החסרה מפרידים רק בין $+$ ל-$-$**. מכפלות ומכסות דורשות חוקים משלהם (שיעורים 2.8–2.9). כמו כן, הנגזרת של קבוע היא $0$, ולא הקבוע עצמו.
גזרו את $p(x)=6x^3+\dfrac{4}{x^2}-x+10$.
- נסח מחדש: $p(x)=6x^3+4x^{-2}-x+10$.
- איבר אחר איבר: $6\cdot3x^2$, $4\cdot(-2)x^{-3}$, $-1$, ו-$0$.
- $p'(x)=18x^2-8x^{-3}-1=18x^2-\dfrac{8}{x^3}-1$.
ארבעה חוקי סיכום: קבוע $\to 0$; סכום/הפרש מגזרים איבר אחר איבר; כפולה קבועה משאירה את המקדם מול הסימן ($\frac{d}{dx}[kf]=kf'$). בשילוב עם חוק החזקה, חוקים אלו מאפשרים לגזור כל פולינום במעבר אחד — אך הם מפרידים רק בין $+$ ל-$-$, לעולם לא על פני מכפלה.