הגדרת הנגזרת של פונקציה ושימוש בסימוני נגזרות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | נזילה |
הנגזרת: קצב רגעי, מארוז
- הקצב הרגעי של השינוי כל כך שימושי עד שהוא קיבל שם משלו: הנגזרת.
- היא הופכת את "שיפוע המשיק בכל $x$" לפונקציה חדשה לחלוטין, $f'(x)$.
- מכניסים לה $x$, והיא מחזירה את שיפוע ה$f$ בדיוק שם.
- שיעור זה מדויק את ההגדרה ומראה את הסימונים שתשתמשו בהם בכל מקום.
הנגזרת היא שיפוע המשיק
y = x²
גרור את הנקודה לאורך העקומה — המספר שמציין שיפוע המשיק הוא בדיוק $f'(x)$ בערך הכניסה הזה.
הגדרת הגבול
- הנגזרת של $f$ היא
-
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
- בתוך כך קיים מנה הבדלים — שיפוע המיתר על מרווח רוחב $h$.
- לקיחת $h\to0$ מצמצמת את המרווח לאפס, וממירה את שיפוע המיתר לשיפוע המשיק.
איזה ביטוי מייצג את הגדרת הגבול של $f'(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הנגזרת היא הגבול של מנה ההפרשים כאשר $h\to0$.
הגרסה "נקודתית"
- למציאת השיפוע בנקודה ספציפית אחת $a$, השתמש ב-הצורה החלופית:
-
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
- כאן $x$ מתקרב ל-$a$ במקום צעד $h$ שמתכווץ ל-$0$ — אותו עיקרון, תיעוד שונה.
- שתי ההגדרות הן פשוט "שיפוע מיתר בגבול", ולכן הן תמיד נופלות זה עם זה.
ניתן לחשב $f'(x)$ על ידי הצבת $h=0$ ישירות ב$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זה נותן $\tfrac00$; חובה לקחת גבול לאחר פישוט.
הצורה החלופית $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ מתוארת בצורה הטובה ביותר כ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זהו אותו שיפוע משיק ב-$a$, המבטא עם $x\to a$ במקום $h\to0$.
קריאת סימונים
- אותה נגזרת לובשת מספר לבושים — יש ללמוד להכיר בהם כולם:
- לאגראנז': $f'(x)$ (קוראים "$f$ פרים של $x$").
- לייבניץ: $\dfrac{dy}{dx}$ או $\dfrac{d}{dx}[f(x)]$ — מדגיש "קצב שינוי של $y$ ביחס ל-$x$."
- כולם משמעותם קצב השינוי המיידי, כלומר שיפוע המשיק ב-$x$.
הסממן של לייבניץ $\dfrac{dy}{dx}$ פירושו אותו דבר כמו $f'(x)$: ה____ של המשיק.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שניהם מציינים את הקצב המיידי = שיפוע המשיק.
בחר את כל הסימונים המציינים את הנגזרת של $y=f(x)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השלושה הראשונים הם כולם נגזרת; $f(x)^{-1}$ היא הפוכה/הפריקה, ולא נגזרת.
אין להחליף פשוט $h=0$ ב-$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ — זה ייתן $\tfrac00$. הנגזרת היא הגבול כאשר $h\to0$, שהוא מחושב על ידי פישוט מנה ההבדלים תחילה (ביטול ה-$h$), ולאחר מכן השארת $h\to0$. דילוג על הגבול הוא הטעות הקלאסית.
מההגדרה, $f(x)=x^2$ נותן $f'(x)=2x$. חשב $f'(3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(3)=2\cdot3=6$.
השתמש בהגדרה כדי למצוא $f'(x)$ עבור $f(x)=x^2$.
- $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$.
- $=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h$ (עבור $h\neq0$).
- $\displaystyle\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$, ולכן $f'(x)=2x$.
הנגזרת $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (או הצורה הנקודתית $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$) היא גבול של מנה הבדלים — שיפוע המשיק, כלומר קצב השינוי המיידי. כתוב זאת כ$f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ או $\frac{d}{dx}[f(x)]$.