הגדרת ממוצע וקצבי שינוי מיידיים בנקודה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | קצב שינוי ממוצע |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | קצב שינוי מיידי |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | מנת הפרשים |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | קו חותך |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | משיק |
מ"על קטע" ל"רגע ספציפי"
- יחידה 1 בנתה את מושג הגבול. כעת אנו משתמשים בו כדי למדוד שינוי.
- על קטע, קצב השינוי הממוצע הוא סך השינוי חלקי רוחב הקטע.
- ברגע בודד, קצב השינוי הרגעי הוא מה שמדגש מהירות מראה.
- הגשר ביניהם הוא גבול — וגשר זה הוא ליבת היחידה 2 כולה.
קצב ממוצע = שיפוע של חוטך
- קצב השינוי הממוצע של $f$ מ$x=a$ ל$x=b$ הוא מנה ההפרש:
-
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- גיאומטרית, זהו השיפוע של קו הקוטע המחבר בין $\big(a,f(a)\big)$ ל$\big(b,f(b)\big)$.
- זהו ממוצע: הוא מחליק ומחליק את כל מה שקרה בין $a$ ל$b$.
מצא את קצב השינוי הממוצע של $f(x)=x^2$ על $[1,3]$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$.
קצב השינוי הממוצע על קטע שווה לשיפוע ה-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קצב שינוי ממוצע = עלייה חלקי התרחשות בין שני הקצוות = שיפוע קו החוצה.
צמצום הקטע
- כדי לקבל את הקצב ברגע $x=a$, הזזו את $b$ לכיוון $a$ ועקבו אחרי שיפוע הקוטע.
- ככל שהקטע מתכווץ, הקוטע מסתובב אל כיוון קו המשיק בנקודת $a$.
- השיפוע הגבולי הוא קצב השינוי הרגעי בנקודת $a$.
- בעצם לא חולף זמן ברגע מסוים — הגבול הוא מה שמעניק משמעות ל"קצב בנקודה".
הזז את הקו החוצה לתוך נגיעה
y = x²
הזז את הנקודה לאורך $y=x^2$ — השיפוע של הנגיעה שקוראים הוא קצב שינוי מיידי, הגבול של שיפועי הקווים החוצים.
קצב השינוי המיידי בנקודה שווה לשיפוע ה-____ שם.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זהו הגבול של שיפועי קווים חוצים כשהקטע מתכווץ — שיפוע הנגיעה.
קריאת הקצב בהקשר
- הסימן מצביע על הכיוון: קצב חיובי → גידול, שלילי → ירידה.
- הגודל מצביע על המהירות: מודולוס גדול יותר מעיד על שינוי מהיר יותר.
- היחידות חשובות: עבור מיקום במטרים לאורך זמן בשניות, הקצב הוא ב$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — מהירות.
- לכן קצב ממוצע = שיפוע הקו השורק (לאורך מרווח); קצב רגעי = שיפוע הקו המשיק (בנקודה).
אם קצב השינוי הממוצע של $f$ על $[0,4]$ הוא $0$, אזי $f$ חייבת להיות קבועה על $[0,4]$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זהו רק אומר דבר אחד לגבי $f(0)=f(4)$; $f$ יכול לעלות ולאחר מכן לרדת (למשל, לצאת ולהחזיר).
עבור $f(x)=x^2$, קצבי השינוי הממוצעים על $[3,3.1]$ ועל $[3,3.01]$ הם $6.1$ ו-$6.01$. הערך את קצב השינוי המיידי ב-$x=3$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הממוצעים מתקרבים ל$6$.
פונקציית מיקום היא בעלת קצב שינוי מיידי $-5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ בזמן $t$. סמן כל הקריאות הנכונות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
קצב שלילי = תנועה בכיוון השלילי (ולכן המיקום יורד); הגודל שלו הוא המהירות; והוא שווה לשיפוע המשיק.
קצב ממוצע וקצב רגעי אינם תחליפים זה לזה. הקצב הממוצע לאורך $[a,b]$ יכול להיות אפס בעוד שקצב הרגעי גדול בכל נקודה פנימית (דמיינו הליכה החוצה וחזרה). רק בגבול של מרווח המתכווץ הופך הקצב הממוצע לקצב הרגעי.
עבור $f(x)=x^2$, מצאו את הקצב הממוצע על $[2,4]$ והעריכו את הקצב הרגעי ב$x=2$.
- ממוצע על $[2,4]$: $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{16-4}{2}=6$.
- התכווצות לעבר $2$: על $[2,2.1]$, $\dfrac{4.41-4}{0.1}=4.1$; על $[2,2.01]$, $4.01$.
- הקצבים הממוצעים מתקרבים ל$4$ — הקצב הרגעי ב$x=2$ הוא $4$.
הקצב הממוצע של השינוי לאורך $[a,b]$ הוא מנה ההפרש $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — שיפוע של קו שורק. כשהמרווח מתכווץ, הקו השורק מתקרב לקו המשיק, whose slope is the instantaneous rate of change at that point.