הערכת ערכי גבולות מגרפים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/ | גבול מצד שמאל |
| right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/ | גבול מצד ימין |
| hole/həʊl/ | חור |
| jump/dʒʌmp/ | קפיצה |
| unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/ | בלתי מוגבל |
| oscillation/ˌɒsɪˈleɪʃn/ | תנודה |
קרא את הגבול ישירות מהגרף
- נתון גרף, לעיתים ניתן לראות באופן ויזואלי גבול ללא שימוש באלגברה כלשהי.
- הנח אצבע על העקומה מעט שמאלית ל-$x=c$ ועקוב אותה לכיוון $c$: לאיזה גובה אתה שואף?
- עשה זאת גם מכיוון ימין. אם שתי האצבעות מצביעות על אותו גובה זה, הגובה הזה הוא הגבול.
- הטיפ: התמקד במיקום אליו העקומה שואפת, ואהדר כל נקודה בודדת המוצגת ב-$x=c$.
עקוב אחר העקומה לכיוון נקודה מסוימת
y = ax² + bx + c
התקרב לקלט משני הצדדים, שמאל וימין — ה-גבול הוא הגובה המשותף אליו העקומה שואפת, ללא קשר למספר הנקודות הבודדות.
כדי לקרוא את $\lim_{x\to c} f(x)$ ממספר הגרף, יש לבחון...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גבול הוא הגובה המשותף אליו שואפים משני הצדדים; הנקודה ב-$c$ אינה רלוונטית.
משמאל וימין, קרא נפרד
- עקוב רק מכיוון שמאל → הגבול משמאל $\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)$.
- עקוב רק מכיוון ימין → הגבול מימין $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)$.
- בגרף, נקודה ממולאת ● מסמלת שהנקודה נמצאת על העקומה; נקודה פנויה ○ (חור) מסמלת שהוא אינו נמצא עליה.
- הגבול אינו רואה אם הנקודה ממולאת או פנויה — הוא דואג רק ל-התקרבות.
הגרף עולה בצורה מתמדת ו, בדיוק משמאל ל$x=5$, העקומה עוברת בגובה $2.9, 2.99, 2.999$. העריך $\lim_{x\to 5^-} f(x)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הערכים מצד שמאל מתקרבים ל$3$, ולכן הגבול מצד שמאל הוא $3$.
מתי הגבול אינו קיים
- שלושה צורות גרף קלאסיות גורמות לגבול להכשל (DNE):
- קפיצה: השני צדדים מתעקבים לגבהים שונים.
- פיצוץ אי-מוגבל: העקומה זוקפת אל גובה ל-$\pm\infty$ בסמוך לאסימפטורה אנכית.
- תנודה: העקומה מתנדנדת במהירות אינסופית (כמו $\sin\frac1x$) ולא מתייצבת לעולם.
אם החלק השמאלי של הגרף שואף ל-$2$ והחלק הימני שואף ל-$6$, הגבול אינו קיים בשל ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גבהים חד-צדדיים שונים מעידים על אי-רציפות קפיצה, ולכן הגבול דו-צדדי הוא DNE (לא קיים).
מספר הגרף, סמן כל התכונות הגורמות לכך שהגבול ב-$\lim_{x\to c} f(x)$ לא יתקיים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
פיצוצים, קפיצות ותנודות מביאים לקץ להיעלם. חור הניתן להסרה אינו — שני הצדדים עדיין מסכימים.
הנקודה ב-$c$ היא מפתלה
- הגובה אליו העקומה שואפת, $\lim_{x\to c}f(x)$, הוא שאלה נפרדת מערך המתוכנן ב-$f(c)$.
- העקומה יכולה לכוון בצורה חלקה לעבר $4$ בעוד נקודה בודדת ממוקמת ב$f(c)=1$ — הגבול עדיין הוא $4$.
- $f(c)$ אף יכול להיות לא מוגדר (חור) בעוד הגבול קיים.
- לכן יש תמיד לענות על שני שאלות בנפרד: לאיפה העקומה הולכת? ו-האם קיימת נקודה, ואיפה היא?
אם הגרף מציג חור פתוח ב-$(2,4)$ ונקודה מלאה ב-$(2,1)$, אזי $\lim_{x\to 2} f(x) = 4$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
העקומה שואפת לגובה $4$ משני הצדדים, ולכן הגבול הוא $4$; הנקודה המלאה היא רק $f(2)=1$.
עקומה חלקה עוברת בגובה $7$ בנקודה $x=3$ ללא חור או נקודה אחרת. מה הם $f(3)$ ו$\lim_{x\to 3} f(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ללא חור או קפיצה, העקומה רציפה שם, ולכן הגבול $= f(3) = 7$.
כשד נפוץ: קריאת $f(c)$ (הנקודה המצוירת) כאשר השאלה שואלת על $\lim_{x\to c}f(x)$ (הגישה). הם שונים. אם רואים נקודה מלאה צפה מעל עקומה חלקה, הגבול הוא גובה העקומה — ולא גובה הנקודה.
מגרף: סמוך ל$x=2$ העקומה עולה אל חור בגובה $4$, ונקודה מלאה מצוירת ב$(2,\,1)$.
- גבול מימין: כיוון אל $4$. גבול משמאל: כיוון אל $4$.
- שניהם מסכימים, ולכן $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 4$.
- אבל $f(2) = 1$ (הנקודה המלאה). הגבול $\neq$ ערך פונקציה כאן.
כדי לקרוא גבול מגרף, לעקוב אחר העקומה לכיוון $c$ מ-שני הצדדים ולשאול לאיזה גובה אנו שואפים; הנקודה המצוירת ב$c$ היא פתיון. הגבול אינו קיים כאשר הצדדים נותנים גבהים שונים (קפיצה), העקומה בלתי מוגבלת, או שהיא מתנודדת ללא סוף.