נפח בשיטת הדש: סיבוב סביב ציר ה-x או ציר ה-y
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| washer/ˈwɒʃə/ | גשר |
| washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/ | שיטת הגשרים |
| inner radius/ˈɪnə ˈreɪdɪəs/ | רדיוס פנימי |
| outer radius/ˈaʊtə ˈreɪdɪəs/ | רדיוס חיצוני |
דיסק עם חור בתוכו
- כאשר מסבבים אזור שיש בו רווח בין שתי עקומות, כל פרוסה אינה דיסק מוצק — היא טבעת.
- הטבעת הזו (דיסק עם חור עגול חתוך) נקראת שמן-גזירה (washer).
- השטח שלה הוא העיגול הגדול פחות העיגול הקטן: $\pi R^2-\pi r^2$.
- חיבור שמני-גזירות הוא שיטת שמני-גזירות.
דיסק דק (ולא דיסק מלא) נוצר כאשר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הרווח משאיר חור → דיסק דק.
רדיוס חיצוני פחות רדיוס פנימי
- לשמן-גזירה יש רדיוס חיצוני $R$ (עד לעקומה הרחוקה) ורדיוס פנימי $r$ (עד לעקומה הקרובה).
- השטח שלה הוא $\pi\big(R^2-r^2\big)$, ולכן:
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- סיבוב סביב ציר ה-$x$, $R$ ו$r$ הם המרחקים משתי העקומות לציר.
שתי עקומות יוצרות טבעת
y = ax² + bx
בין $y=x$ ל $y=\sqrt x$ יש רווח מהציר — הסיבוב יוצר דשים עם רדיוס חיצוני $\sqrt x$ ופנימי $x$.
נפח בשיטת הדש הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עיגול גדול פחות עיגול קטן: $\pi(R^2-r^2)$.
בדיסק דק, $R$ הוא רדיוס חיצוני (עד לעקומה הרחוקה) ו$r$ הוא רדיוס פנימי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חיצוני עד לעקומה הרחוקה, פנימי עד לעקומה הקרובה.
זיהוי $R$ ו$r$
- $R$ (חיצוני) נובע מעקומה רחוקה יותר מהציר; $r$ (פנימי) מעקומה קרובה יותר.
- סיבוב האזור בין $y=f(x)$ (עליון) ל$y=g(x)$ (תחתון) סביב ציר ה-$x$: $R=f(x)$, $r=g(x)$.
- החור קיים כי העקומה התחתונה לא מגיעה לציר.
- מעלים כל רדיוס בריבוע בנפרד לפני החיסור.
בסיבוב האזור בין $y=\sqrt x$ (למעלה) ל-$y=x$ (למטה) סביב ציר ה-$x$, הרדיוס החיצוני הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
העקומה הרחוקה יותר מהציר, $\sqrt x$, היא הרדיוס החיצוני.
מעלים בריבוע קודם, ואז מחסרים
- השטח הוא $\pi(R^2-r^2)$, לא $\pi(R-r)^2$ — מעלים כל רדיוס בריבוע לפני החיסור.
- $(R-r)^2$ יכלול שגויות איבר מעורב ויתן נפח שגוי.
- לכן חשב את $R^2$ ואת $r^2$ כל אחד בנפרד, חסר אותם, ואז אינטגרל והכפל ב-$\pi$.
- זוהי הטעות הנפוצה ביותר במטבעות (washers).
האינטגרנד בשיטת הדש $R^2-r^2$ זהה ל-$(R-r)^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
להעלות כל רדיוס בריבוע תחילה; $(R-r)^2$ שגוי.
לעבור $R=\sqrt x$, $r=x$ על $[0,1]$: $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi(\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{6}$.
האינטגרנד של המטבע הוא $R^2-r^2$, לא $(R-r)^2$ — רבע את הרדיוסים לפני החיסור. וגם שמור על הפרדה בין $R$ (חיצוני, לעקומה הרחוקה) לבין $r$ (פנימי, לעקומה הקרובה); החלפתם או השימוש ב-$(R-r)^2$ מובילים לנפח שגוי. מטבע מופיע רק כאשר מרווח מפריד בין האזור לציר.
סובב את האזור שבין $y=x$ (תחתון) ל-$y=\sqrt x$ (עליון) על $[0,1]$ סביב ציר ה-$x$.
- רדיוס חיצוני $R=\sqrt x$, רדיוס פנימי $r=x$ (על $[0,1]$, $\sqrt x\ge x$).
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
שיטת המטבעות מסובבת אזור בעל מרווח לחלונות: $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$, כאשר $R$ הוא הרדיוס החיצוני (העקומה הרחוקה) ו-$r$ הוא הרדיוס הפנימי (העקומה הקרובה). רבע כל רדיוס לפני החיסור — $R^2-r^2$, לעולם לא $(R-r)^2$.