נפח בעזרת שיטת הדיסקים: סיבוב סביב צירים אחרים
הוצגסיבוב סביב קו מוזז
- מה אם מסובבים אזור לא סביב ציר, אלא סביב קו כמו $y=-1$ או $x=3$?
- שיטת הדיסק עדיין פועלת — פשוט מדדים את הרדיוס מהעקומה לציר המוזז הזה.
- הנוסחה $V=\pi\int R^2$ נשארת ללא שינוי; רק $R$ זקוק להתאמה.
- קבלת הרדיוס הנכון היא כל העניין.
רדיוס = מרחק לציר החדש
- סיבוב סביב קו אופקי $y=k$: הרדיוס הוא הפער האנכי $R=|f(x)-k|$.
- סיבוב סביב קו אנכי $x=k$: הרדיוס הוא הפער האופקי $R=|g(y)-k|$.
- חסור את ערך הציר מערך העקומה (במשתנה הנכון) כדי לקבל את המרחק.
- לאחר מכן רבוע, כפול ב$\pi$, ואינטגרל כרגיל.
העקומה מעל ציר מוזז
y = a·√x
סיבוב סביב $y=-1$ גורם לרדיוס להגיע מהעקומה למטה עד לקו זה — $R=f(x)+1$, גדול יותר מ-$f(x)$.
סיבוב $y=f(x)$ סביב הקו $y=-1$, הרדיוס הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המרחק מ $f(x)$ למטה עד $y=-1$ הוא $f(x)-(-1)=f(x)+1$.
בסיבוב סביב $y=k$ (מתחת לאזור), רדיוס של עקומה $f(x)$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ערך העקומה פחות ערך הציר: $f(x)-k$.
בסיבוב סביב קו אנכי $x=k$, הרדיוס הוא המרחק האופקי $|g(y)-k|$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לציר אנכי, מדודים אופקית.
ציר מתחת לאזור
- אם הציר $y=k$ נמצא מתחת לאזור, העקומה נמצאת מעליו, ולכן $R=f(x)-k$ (פער חיובי).
- דוגמה: סיבוב סביב $y=-1$ של עקומה בגובה $f(x)$ נותן רדיוס $R=f(x)-(-1)=f(x)+1$.
- ה-"$+1$" הוא המרחק הנוסף למטה אל הציר המוזז.
- תמיד שרטט אותו: הרדיוס נמתח מהעקומה אל הציר.
אם הציר $y=3$ נמצא מעל האזור (עקומה $f(x)<3$), הרדיוס הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המרחק הוא ציר פחות עקומה: $3-f(x)$ (רווח חיובי).
אל תשתמש ברדיוס הציר הרגיל
- הטעות הנפוצה ביותר היא לשכוח להזיז: שימוש ב-$R=f(x)$ כאשר הציר הוא $y=-1$.
- הדבר מקטין את הרדיוס בכמות ההזזה, ונותן נפח שגוי (קטן מדי).
- כתוב מחדש את הרדיוס כ-(ערך העקומה) $-$ (ערך הציר) בכל פעם שהציר אינו $y=0$ או $x=0$.
- שרטוט קטע המרחק מונע טעות זו.
כאשר מסובבים סביב $y=-1$, עדיין ניתן להשתמש ברדיוס $R=f(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
יש להזיז: $R=f(x)+1$.
סיבוב $y=\sqrt x$ על $[0,4]$ סביב $y=-1$ נותן רדיוס $\sqrt x+1$, ולכן $V=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi\int_0^4(x+2\sqrt x+1)\,dx=\pi(8+\tfrac{32}{3}+4)=\tfrac{68\pi}{3}$.
עבור ציר מוזז, הרדיוס הוא המרחק מהעקומה להקו הזה, למשל $R=f(x)-k$ עבור $y=k$ — לא פשוט $f(x)$. סיבוב סביב $y=-1$ גורם לכך שהרדיוס יהיה גדול יותר (מוסיפים $1$); סיבוב סביב $y=3$ מעל האזור הופך אותו ל$3-f(x)$. תמיד מדודים לציר הנכון לפני ההעלאה בריבוע.
מסבבים את האזור בין $y=\sqrt x$ לבין הקו $y=-1$ על $[0,4]$ סביב $y=-1$. (האזור מגיע עד לציר, כך שכל פרוסה מייצרת דיסק מוצק — אין חור.)
- הרדיוס נמתח מהעקומה כלפי מטה עד $y=-1$: $R(x)=\sqrt x-(-1)=\sqrt x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x+1)^2\,dx=\pi\int_0^4 \big(x+2\sqrt x+1\big)\,dx$.
- $=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{4}{3}x^{3/2}+x\Big]_0^4=\pi\big(8+\tfrac{32}{3}+4\big)=\tfrac{68\pi}{3}$.
שיטת הדיסקים סביב ציר מוזז שומרת על $V=\pi\int R^2$, אך הרדיוס הוא המרחק מהעקומה לקו זה: $R=f(x)-k$ עבור $y=k$, או $g(y)-k$ עבור $x=k$. מתאימים את $R$ בהתאם להזזה (ציר מתחת לאזור מוסיף לרדיוס); לעולם לא משתמשים שוב ברדיוס של ציר רגיל.