נפח בעזרת שיטת הדיסקים: סיבוב סביב ציר x או ציר y
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| disc/dɪsk/ | דיסק |
| disc method/dɪsk ˈmeθəd/ | שיטת הדיסקים |
סובב אזור לגוף
- קח אזור, סובב אותו סביב ציר, והוא יוצר גוף סיבוב.
- חתוך אנך לציר, וחיתוך כל אחד יהיה דיסק דק (מטבע).
- סכום נפחי הדיסקים: שיטת הדיסקים.
- זו נוסחת החיתוך עם חיתוכים מעגליים.
כל פרוסה בשיטת הדיסקים היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
סיבוב יוצר דיסקים מעגליים.
נוסחת הדיסק
- כל דיסק הוא מעגל ברדיוס $R$ ועובי $dx$, ולכן נפחו הוא $\pi R^2\,dx$.
- אם האזור בין $y=R(x)$ לציר מסתובב סביב ציר ה$x$:
-
$$V=\pi\int_a^b \big[R(x)\big]^2\,dx$$
- הרדיוס $R(x)$ הוא המרחק מהעקומה לציר הסיבוב — כאן זה פשוט $f(x)$.
הפרופיל שמסתובב ליצירת דיסקים
y = a·√x
סיבוב $y=\sqrt x$ סביב ציר ה-$x$ יוצר ערימות של דיסקים ברדיוס $\sqrt x$ — נפח $\pi\int R^2\,dx$.
סיבוב $y=R(x)$ סביב ציר $x$, הנפח הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כל דיסק הוא $\pi R^2\,dx$.
סיבוב סביב ציר ה-y
- הסתובבים סביב ציר ה$y$ במקום זאת? חלקו אופקית וכתבו את הרדיוס כפונקציה של $y$.
-
$$V=\pi\int_c^d \big[R(y)\big]^2\,dy$$
- כעת $R(y)$ הוא המרחק האופקי מהעקומה $x=g(y)$ לציר ה$y$.
- אותו נוסחה, משולבת ב-$y$, כאשר הרדיוס נמדד בצד.
בשיטת הדיסקים, הרדיוס $R$ הוא ה____ מהעקומה לציר הסיבוב.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רדיוס = מרחק לציר.
סיבוב סביב ציר $y$, מבצעים אינטגרציה ב-$y$ באמצעות...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
התאם את המשתנה לציר: ציר $y$ → $R(y)$, אינטגרציה ב-$y$.
הרדיוס הוא מרחק
- המיומנות המרכזית: לזהות נכון את $R$ כמרחק מהעקומה לציר.
- סיבוב סביב ציר ה$x$, עקומה $y=f(x)$ נותנת רדיוס $R=f(x)$ (גובהה).
- סיבוב סביב ציר ה$y$, עקומה $x=g(y)$ נותנת רדיוס $R=g(y)$.
- הרימו את הרדיוס לריבוע, הכפילו ב-$\pi$, ושלב לאורך הציר.
סיבוב $y=\sqrt x$ על $[0,4]$ סביב ציר $x$ ($R^2=x$) נותן $V=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\cdot8=8\pi$.
שיטת הדיסקים כוללת גורם של $\pi$ ומרובעת את הרדיוס.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$V=\pi\int R^2$.
אל תשכחו את $\pi$ ואת הריבוע — שיטת הדיסק היא $\pi\int R^2$, לא $\int R$. והתאימו את משתנה האינטגרציה לציר: סיבוב סביב ציר ה$x$ → אינטגרציה ב-$x$ עם $R(x)$; סביב ציר ה$y$ → אינטגרציה ב-$y$ עם $R(y)$. שילובם הוא טעות נפוצה.
הסתובבו את האזור תחת $y=\sqrt x$ על $[0,4]$ סביב ציר ה$x$.
- רדיוס $R(x)=\sqrt x$, ולכן $R^2=x$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\pi$.
- כל דיסק הוא מעגל ברדיוס $\sqrt x$ הערום לאורך ציר ה$x$.
שיטת הדיסק מסתובבת אזור נגד ציר ליצירת חתכים עגולים: $V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx$ סביב ציר ה$x$, או $\pi\int_c^d[R(y)]^2\,dy$ סביב ציר ה$y$. הרדיוס $R$ הוא המרחק מהעקומה לציר. לעולם אל תורידו את $\pi$ או את הריבוע.