נפחים עם חתכים: ריבועים ומלבנים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| cross sections/krɒs ˈsekʃnz/ | חצות |
ערימת דקות דקות ליצירת מוצק
- אינטגרציה ממצאת גם נפחים, ולא רק שטחים — על ידי הוספת שכבות דקות של מוצק.
- חתוך מוצק אנכית לציר; כל חתך הוא דקה דקה בעלת שטח חתך מסוים $A(x)$.
- סכום אותם: $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — האינטגרל של שטח החתך.
- שיעור זה עוסק במוצקים שהחתכים שלהם הם ריבועים או מלבנים.
הנוסחה הכללית לנפח
- אם החתך המוצב ב↦x$x$ שטחו $A(x)$ ועוביו $dx$, נפחו הקטן הוא $A(x)\,dx$.
- סכום על פני המוצק: $$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- הכל מצטמצם ל: כתוב את שטח החתך כפונקציה של $x$, ואז שלב.
- החלק הקשה הוא הגיאומטריה של חתך אחד, ולא החשבון.
נפח של גוף בעל שטח חתך $A(x)$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לוסף בלוקים $A(x)\,dx$.
כדי להשתמש ב$V=\int_a^b A(x)\,dx$, פרוסות החתך חייבות להיות...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפרוסות אנכיות לציר שבו מבצעים אינטגרציה.
חתכים ריבועיים
- עיצוב נפוץ: חתכים הם מרובעים עם בסיס המונח על האזור בין שתי פונקציות.
- אם אורך הבסיס הוא $s(x)$ (לעיתים $f(x)-g(x)$, הפער בין הפונקציות), שטח המרובע הוא $s(x)^2$.
- ולכן $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$.
- בסיסו של כל מרובע משתרע על האזור; שטחו הוא ריבוע הבסיס.
האזור הבסיס מתחת ל-√x
y = a·√x
כל פרוסת ריבועית יושבת על הבסיס; צידה הוא הגובה $\sqrt{x}$, ולכן שטחה הוא $(\sqrt{x})^2=x$.
עבור חתכים מרובעים עם בסיס $s(x)$, השטח הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ריבוע בצלע $s$ יש לו שטח $s^2$.
אורך הבסיס של חתך הוא לעיתים הקירור בין העקומות, $f(x)-g(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הבסיס משתרע על האזור בין העקומות.
חתכים מלבניים
- עבור מלבנים, השטח הוא בסיס $\times$ כפול גובה: $A(x)=s(x)\cdot h(x)$.
- הגובה עשוי להיות כפולה קבועה מהבסיס, או נתון בנפרד בשאלה.
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- קראו את השאלה בקפדנות כדי לקבוע נכון את חוק הגובה.
בסיס מתחת ל-$y=\sqrt x$ על $[0,4]$, חתכים מרובעים: $A(x)=x$. מצא $V=\int_0^4 x\,dx$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4=8$.
עבור חתכים מלבניים, שטח = בסיס ____ גובה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$A=s\cdot h$ למרובע.
אורך הבסיס $s(x)$ הוא לרוב ה-מרחק בין פונקציות הגבול ($f(x)-g(x)$) או בין פונקציה לציר — מצאו מה משתרע על הבסיס לפני ההעלאה לריבוע. עבור מרובעים, השטח הוא $s(x)^2$ (אל תשכחו להעלות לריבוע את כל הפער). הפרוסות חייבות להיות מאונכות לציר שבו אתם מבצעים האינטגרציה.
גוף בעל בסיס האזור מתחת ל$y=\sqrt{x}$ מ$x=0$ עד $4$, עם חתכים מרובעים מאונכים לציר ה$x$.
- בסיסו של כל מרובע הוא $s(x)=\sqrt{x}$ (מהפונקציה לציר ה$x$).
- שטח החתך: $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
נפח הגוף הוא $V=\int_a^b A(x)\,dx$, האינטגרל של שטח החתך. עבור חתכים מרובעים עם בסיס $s(x)$, $A(x)=s(x)^2$; עבור מלבנים, $A(x)=s(x)\cdot h(x)$. מצאו את הבסיס $s(x)$ (לרוב הפער בין פונקציות), כתבו את $A(x)$, ואינטגרלו.