מציאת השטח בין עקומות שנחתכות ביותר משתי נקודות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| subintervals/ˌsʌbɪnˈtɜːvlz/ | תת-קטעים |
כאשר העקומות ממשיכות לחצות
- לעיתים שתי עקומות חוצות זו את זו יותר משתי פעמים, וה"עקומה העליונה" מתחלפת לאורך הדרך.
- אינטגרל יחיד של עליון פחות תחתון יוביל למערכת סימנים שגויה בחלק מהאזור.
- הפתרון: חלקו את האזור בכל נקודת חצייה ואינטגרצו כל חלק בנפרד.
- הוסיפו את השטחים (החיוביים) של החלקים כדי לקבל את הסך הכללי.
מצאו קודם כל כל נקודות החיתוך
- פתרו את $f(x)=g(x)$ במלואו — מצאו כל נקודות החצייה בתחום, ולא רק את שתי החיצוניות.
- חיתוכים אלו הם הגבולות של תת-תחומים בהם ההסדר קבוע.
- סדרו אותם משמאל לימין לאורך ציר ה-$x$.
- כל זוג סמוך של נקודות חצייה מייצר חלק אחד מהאזור.
משולש החוצה קו 3 פעמים
y = ax³ + bx
$y=x^3$ ו-$y=x$ נחתכים ב-$-1,0,1$; העקומה העליונה משתנה ב-$0$, ולכן השטח דורש שני חלקים.
איפה נחתכים $y=x^3$ ו-$y=x$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$.
נקודות החיתוך מחלקות את האזור ל-____ שבהן הסדר קבוע.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
על כל תת-תחום, עקומה אחת נמצאת באופן רציף למעלה.
חלקו במקום שבו העליון והתחתון מתחלפים
- בכל תת-תחום, עקומה אחת היא באופן עקבי בעליון — בדקו נקודה כדי לראות איזו.
- הציעו אינטגרל נפרד של (עליון $-$ פחות תחתון) עבור כל תת-תחום, באמצעות העקומה הנכונה בעליון שם.
- מכיוון שעקומת העליון מתחלפת בין החלקים, האינטגרנדים שונים מחלק אחד לאחר.
- השטח המלא הוא סכום של אינטגרלים נפרדים אלו.
מפצלים את האזור בכל נקודת חיתוך כי...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כשהעקומות מחליפות מקום, חלק מהאזור יספר כשלילי.
שימוש באינטגרל אחד של $f-g$ לאורך כל הנקודות (כאשר העקומות מתחליפות) נותן...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ביטול סימנים מקטין את השטח האמיתי.
הוסיפו את השטחים המוחלטים
- כל אינטגרל בתת-קטע, המבוצע עם החלק העליון פחות התחתון הנכון, הוא חיובי.
- סכום אותם: $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- באופן שקול, $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — הפער המוחלט, משולב.
- שתי נקודות מבנה אלו נותנות את אותו שטח גיאומטרי כולל.
ל-$y=x^3$ ו-$y=x$ ב-$[-1,1]$, לכל חלק יש שטח $\tfrac14$. מצאו את השטח הכולל.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
אינטגרציה של $|f(x)-g(x)|$ על כל התחום נותנת את אותה שטח כולל כמו חלוקה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ערך מוחלט מטפל בהחלפה באופן אוטומטי.
אל תשתמש באינטגרל אחד של $f-g$ על פני כל חציות הגרפים — כאשר הגרפים מתחלפים, חלק מהאזור תורם ערך שלילי ומבטל שטח אמיתי. עליך לפרק בכל נקודת חיתוך ולקבל עליון-פחות-תחתון בצורה נכונה בכל חלק (או לשלב $|f-g|$). מצא את כל חציות הגרפים, לא רק בקצוות.
שטח בין $y=x^3$ ל-$y=x$ ב-$[-1,1]$.
- חציות גרפים: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — שלוש נקודות.
- ב↦x$(-1,0)$: $x^3>x$ (בדיקה $-0.5$). ב↦y$(0,1)$: $x>x^3$ (בדיקה $0.5$). העקומה העליונה משתנה בנקודה $0$.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
כאשר גרפים נחתכים יותר משתי פעמים, מצא את כל נקודות החיתוך, פרק את האזור לתת-קטעים, ושלב עליון פחות תחתון בכל אחד מהם (הגרף העליון מתחלף ביניהם). סכום החלקים — באופן שקול, שלב $|f(x)-g(x)|$. אינטגרלי ישר אחד של $f-g$ יבטל שטח בטעות.