חיבור מיקום, מהירות ותאוצה של פונקציות באמצעות אינטגרלים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | מיקום |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | תזוזה |
תנועה, עכשיו דרכו באינטגרלים
- ביחידה 4 עברנו ממיקום → מהירות → תאוצה באמצעות גזירה. אינטגרציה הולכת לעומת כיוון זה.
- אינטגרלו תאוצה כדי לקבל מהירות; אינטגרלו מהירות כדי לקבל מיקום.
- בכל צעד נסכמים קצב כדי למצוא את הכמות שהוא משנה.
- לכן אינטגרלים בונים מחדש את סיפור התנועה מהקצבים.
כדי לשחזר מיקום ממערכת מהירות, עליכם...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מיקום $=$ התחלתי $+\int v\,dt$.
מעלה בסולם
- מהירות מתאוצה: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- מיקום ממהירות: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- לכל אחד מהם יש ערך התחלתי (הקבוע באינטגרציה בהסתברות).
- אינטגרלו את הקצב, ואז הוסיפו את הנקודה שבה התחלתם.
שחזור המיקום מהמהירות דורש ערך ____ כדי לקבוע את הקבוע.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מיקום $=$ מיקום התחלתי $+\int v\,dt$.
זחילה מול מרחק
- זחילה על פני $[a,b]$ היא האינטגרל הסימני של מהירות: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — שינוי נטו במיקום.
- סך כל המרחק הוא אינטגרל של מהירות $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — הוא לעולם לא מחסר.
- אם האובייקט מסתובב, הזחילה והמרחק שונים.
- הזחילה יכולה להיות אפס לאחר תנועה אמיתית; המרחק לא יכול (אלא אם כן הוא לא זז מעולם).
שטח מכוון מתחת למהירות
y = t − 2 (מהירות)
השטח המכוון מתחת ל-$v(t)$ הוא התזמחות; לקיחת ערך מוחלט בכל חלק (נפרד ב-$v=0$) נותן מרחק.
ל$v(t)=t-2$ ב$[0,3]$, מצאו את ההזזה $\int_0^3 (t-2)\,dt$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
ההזזה יכולה להיות אפס גם כאשר הגוף באמת נע.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
תנועה יוצאת וחוזרת נותנת הזזה נטו של אפס אך מרחק חיובי.
מרחק פירושו חלוקה בנקודות הפנייה
- כדי לקבל את המרחק הכולל, יש למצוא היכן $v=0$ (נקודות הפנייה) ולבצע אינטגרציה של $|v|$ חלק אחר חלק.
- בכל חלק $v$ שומר על סימן אחד, לכן $|v|$ הוא פשוט $\pm v$ במקום זה.
- יש להוסיף את השטחים המוחלטים של החלקים — ללא ביטול הדדי.
- צעד זה של "חלוקה ב-$v=0$" הוא בדיוק מה שהופך את המרחק ל-$\neq$ בהשוואה להזזה.
ל$v(t)=t-2$ ב$[0,3]$, המרחק הכולל הוא $\int_0^3 |t-2|\,dt$. חשבו אותו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
פצלו ב$t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$.
המרחק הכולל שנסע ב$[a,b]$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אינטגרציה של מהירות $|v|$; פיצול בנקודות הפנייה נדרש.
הזזה ($\int v\,dt$) היא כמות ממוספרת ועשויה להיות אפס גם לאחר תנועה; מרחק כולל ($\int|v|\,dt$) לעולם לא שלילי. כדי לקבל את המרחק, יש לחלק את התחום כאשר $v=0$ מתאפס ולהוסיף את הערכים המוחלטים — אין פשוט לבצע אינטגרציה של $v$ ולקחת את ערכו המוחלט בסוף. כמו כן, לשחזר מיקום/מהירות נדרש ערך התחלתי.
חלקיק בעל $v(t)=t-2$ (מ"ש) בתקופת $[0,3]$. מצאו הזזה ומרחק כולל.
- הזזה: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ מטר.
- $v=0$ ב-$t=2$: שלילי ב-$[0,2)$, חיובי ב-$(2,3]$.
- מרחק: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ מטר.
אינטגרלים בונים מחדש תנועה: מהירות $=$ בתחלת $+\int a\,dt$, מיקום $=$ בתחלת $+\int v\,dt$. הזזה לאורך $[a,b]$ היא ה-$\int_a^b v\,dt$ הממוספר; מרחק כולל הוא $\int_a^b|v|\,dt$ — יש לחלק בנקודות הפנייה ($v=0$) ולהוסיף ערכים מוחלטים.