מציאת הערך הממוצע של פונקציה על קטע
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/ | ערך ממוצע |
הגובה הממוצע של עקומה
- ניתן לחשב ממוצע של רשימה של מספרים – אך איך מחשבים ממוצע של פונקציה, שיש לה אינסוף ערכים?
- האינטגרציה עושה זאת: ה-ערך הממוצע של $f$ על $[a,b]$ הוא הצטברות כוללת מחולקת ברוחב.
- דמיינו את השטח מתחת לעקומה שנעצב למלבן באותו רוחב – הגובה שלו הוא הממוצע.
- זוהי גרסת החישוב האינפיניטסימלי ל"להוסיף ולהחלק בכמות".
הנוסחה
- הערך הממוצע של $f$ על $[a,b]$ הוא
-
$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
- חשבו את האינטגרל המוגדר (הסך הכל), ואז חלקו באורך התחום $b-a$.
- יחידות מידה: זהות ליחידות של $f$ עצמה (זהו ממוצע גובה, לא שטח).
המלבן שווה-שטח
y = x²
הערך הממוצע הוא הגובה הקבוע שבו מלבן סוגר אותה שטח זהה לזה של העקומה מעל $[a,b]$.
הערך הממוצע של $f$ על $[a,b]$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הסך כולו מחולק ברוחב.
הערך הממוצע הוא אותו ____ של הפונקציה $f$, ולא יחידות של שטח.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי גובה ממוצע, לא שטח.
זהו הגובה של "השיווי משקל"
- הערך הממוצע הוא הגובה הקבוע שמניב את אותו שטח מעל $[a,b]$.
- $\displaystyle\int_a^b f_{\text{avg}}\,dx = f_{\text{avg}}(b-a)=\int_a^b f\,dx$ – המלבן והאזור תואמים.
- לכן $f_{\text{avg}}$ הוא הנקודה בה הייתם "מחליקים" את העקומה כדי לשמור על אותו סך מצטבר.
- (משפט הערך הממוצע לאינטגרלים מבטיח ש-$f$ באמת פוגע בממוצע הזה במקום כלשהו אם $f$ רציפה.)
מצאו את הערך הממוצע של $f(x)=x^2$ על $[0,3]$. ($\int_0^3 x^2\,dx=9$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{1}{3}\cdot 9=3$.
גיאומטרית, הערך הממוצע הוא הגובה של מלבן (רוחב $b-a$) עם...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גובה המלבן בעל השטח השווה הוא הערך הממוצע.
ממוצעים בהקשר
- מהירות ממוצעת על $[a,b]$ = $\frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt$ = הסחה ÷ זמן.
- טמפרטורה ממוצעת, קצב ממוצע, ריכוז ממוצע – כולם בעלי אותה נוסחה.
- קראו את היחידות כדי לפרש: ממוצע של קצב הוא עדיין קצב.
- הוא עונה על השאלה "איזה ערך אחיד ויציב יניב את אותו סך הכל?"
האינטגרל הסופי $\int_a^b f\,dx$ לבדו הוא הערך הממוצע של $f$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זהו הסך כולו; יש לחלק ב-$b-a$ כדי לקבל את הממוצע.
התזמחות של רכב במשך $[0,2]$ שעות היא $\int_0^2 v\,dt=120$ ק"מ. מצאו את מהירותו הממוצעת (ק"מ/שעה).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{120}{2}=60$ ק"מ/שעה.
הערך הממוצע מתחלק ב-$b-a$ — אל תבלבו בינו לבין האינטגרל המוגדר בלבד (זהו הסכום הכולל, שטח). $\int_a^b f\,dx$ הוא הסכום המצטבר; $\frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$ הוא גובה ממוצע. שגיאה קלאסית היא לשכוח את ה-$\frac{1}{b-a}$.
מצאו את הערך הממוצע של $f(x)=x^2$ על $[0,3]$.
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^3=9$.
- חלקו ברוחב: $f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{3-0}\cdot 9 = 3$.
- כלומר, גובה קבוע של $3$ יכלא את אותו שטח על פני $[0,3]$.
הערך הממוצע של $f$ על $[a,b]$ הוא $f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ — סכום הכולל (אינטגרל מוגדר) מחולק ברוחב התחום. זהו הגובה הקבוע המקיף את אותו שטח, עם אותן יחידות כמו $f$. לעולם אל תורידו את ה-$\frac{1}{b-a}$.