מציאת פתרונות כלליים באמצעות הפרדת משתנים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| separable/ˈsepərəbl/ | ניתן להפרדה |
קבל את ה$x$'ים וה$y$'ים בצדדים מנוגדים
- כדי באמת לפתור משפט דיפרנציאלי (ולא רק למסור אותו), אנו מבצעי אינטגרציה — אך קודם נסדר את המשתנים.
- משפט דיפרנציאלי הוא ניתן להפרדה אם ניתן לכתוב אותו כך צד אחד מכיל רק $y$ והצד השני רק $x$.
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ הוא הביטוי המאפיין: מכפלה של חלק $x$ וחלק $y$.
- אז לכל צד ניתן לבצע אינטגרציה בנפרד.
אילו משוואה ניתנת להפרדה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$xy$ פורק ל-($x$-חלק)$\times$($y$-חלק); סכום אינו פורק כך.
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$ אינה ניתנת להפרדה כי אין אפשרות לפצל ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפרדה דורשת מכפלה, לא סכום.
הפרד את המשתנים
- התעامل ב-$\dfrac{dy}{dx}$ כיחס של דיפרנציאלים והעבר כל משתנה לצד שלו.
- מ-$\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$: חלקו ב-$h(y)$ וכונו ב-$dx$:
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- כעת כל צד כולל רק משתנה אחד ואת הדיפרנציאל שלו — מוכן לאינטגרציה.
הפרדת $\dfrac{dy}{dx}=xy$ נותנת...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חלוקה ב-$y$, הכפלה ב-$dx$: $\tfrac1y\,dy=x\,dx$.
אינטגרל שני הצדדים
- אינטגרלו את השמאל ב-$y$ ואת הימין ב-$x$: $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$.
- הוסף קבוע יחיד $+C$ (אחד מספיק — שלב את הקבועים משני האגפים).
- לאחר מכן פתור עבור $y$ אם ניתן, כדי לקבל את הפתרון הכללי.
- התוצאה היא משפחה של פונקציות עם הקבוע $C$.
הפתרון הכללי הוא משפחה
פתירת $\tfrac{dy}{dx}=ay$ נותנת $y=Ce^{ax}$ — עקומה אחת לכל קבוע, כולן מתאימות לאותו שדה.
אינטגרציה של $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ נותנת...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$; $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$; הוסף $+C$.
שמרו את ה-$+C$ (וגזרו ל-$y$)
- קבוע האינטגרציה הוא מה שהופך זאת ל-משפחה — לעולם אל תסיר אותו.
- לעיתים תצטרך להעלות לחזקה או לסדר מחדש כדי לבודד את $y$; ה$C$ עובר שינוי אך נשאר.
- השארת התשובה כקשר סתום היא בסדר אם לא ניתן לבודד את $y$ בצורה נקייה.
- תנאי התחלה מאוחר יותר (שיעור 7.7) יקבע את $C$.
יש לכלול את הקבוע $+C$ בעת פתרון משוואה דיפרנציאלית בהפרדת משתנים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ה-$+C$ נותן את הפתרונות הכלליים (משפחת הפתרונות).
הפתרון הכללי של $\dfrac{dy}{dx}=xy$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
העלת $\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$ בחזקה נותנת $y=A e^{x^2/2}$.
הפרדה עובדת רק אם המשוואה מתפרקת לפונקציה ב$x$ × ⟨d⟩f$\times$× פונקציה ב$y$. משהו כמו $\frac{dy}{dx}=x+y$ אינו ניתנת להפרדה — אין אפשרות לפרק סכום. ואל תשכח את ה**$+C$** אחרי האינטגרציה: ללאו יש לך עקומה אחת, ולא את המשפחה הכללית.
פתור את $\dfrac{dy}{dx}=xy$ (פתרון כללי).
- הפרד: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$.
- אינטגרל: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$.
- העלה לחזקה: $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ (כתיבת $A=e^C$). פתרון כללי: $y=A\,e^{x^2/2}$.
הפרדת משתנים פותרת משוואה נפרדת $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$: סדר מחדש ל-$\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$, אינטגרל בשני הצדדים (אחת $+C$), וחלץ את $y$ לקבלת ה-פתרון הכללי. זה עובד רק כאשר המשוואה מתפרקת למכפלת של חלק-$x$ בחלק-$y$.