אישור פתרונות למשוואות דיפרנציאליות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| solution/səˈluːʃn/ | פתרון |
האם פונקציה זו באמת פתרון?
- לפני פתרון משוואה דיפרנציאלית, עליכם להיות מסוגלים לבצע בדיקה של תשובה מוצעת.
- פתרון של משוואה דיפרנציאלית הוא פונקציה הגורמת למשוואה להיות נכונה.
- הבדיקה היא פשוט מכנית: גזרו את המועמד והחליפו אותה.
- אם שני האגפים תואמים עבור כל $x$, זהו פתרון; אם לא, זה לא פתרון.
נוסחת הבדיקה
- 1. לקחת את פונקציית המועמד ולחשב את הנגזרת(ות) שלה.
- 2. החליפו את הפונקציה ואת הנגזרות שלה בתוך המשוואה הדיפרנציאלית.
- 3. צמצמו את שני האגפים ובדוקו שהם שווים (כזהויות ב-$x$).
- אין צורך באינטגרציה — בדיקה היא פשוט גזירה והחלפה.
כדי לאשר מועמד לפתרון, עליך…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גזור את המועמד, הצב, בדוק שהאגפים תואמים.
בדיקה עבודה
- האם $y=e^{3x}$ פותר את $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
- גזרו: $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$.
- הצבה בצד ימין: $3y=3e^{3x}$.
- שמאל $=$ ימין ($3e^{3x}=3e^{3x}$), לכן כן, $y=e^{3x}$ הוא פתרון. ✓
פתרונות של dy/dx = ky
כל מעריכי $y=Ce^{kx}$ עובר דרך שדה המשי slopes — אישור אחד מאמת רק שהנגזרת שלו תתאים ל$ky$.
$y=e^{3x}$ הוא פתרון של $\dfrac{dy}{dx}=3y$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{dy}{dx}=3e^{3x}=3y$. ✓
יש להשוות בין האגפים עבור ערכים ____ של $x$, ולא רק עבור ערך אחד כדי לאמת פתרון.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פתרון מקיים את המשוואה זהותית.
פתרונות כלליים לעומת פרטיים
- $y=Ce^{3x}$ (עם כל קבוע $C$) גם פותר את $\dfrac{dy}{dx}=3y$ — כל המשפחה היא הפתרון הכללי.
- בחירת $C$ ספציפי וקיבלת פתרון פרטי.
- הבדיקה עובדת באותו אופן בשני המקרים: גזירה ובדיקה שהמשוואה מתקיימת.
- הקבוע עובר דרך הגזירה, ולכן הבדיקה נשארת מאוזנת.
אימות פתרון נתון דורש אינטגרציה של משוואה דיפרנציאלית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
האימות הוא גזירה והצבה; אין צורך באינטגרציה.
עבור אילו קבועים $C$ הפונקציה $y=Ce^{3x}$ פותרת את $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ עבור כל $C$ — הפתרון הכללי.
האם $y=x^2+C$ הוא פתרון של $\dfrac{dy}{dx}=2x$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{dy}{dx}=2x$ ללא קשר ל$C$.
בדיקה אינה פתרון — אתה בודק רק מועמד נתון, ולכן אין כאן שימוש באינטגרציה. הצב את הפונקציה וגם את הנגזרת שלה במשוואה ואמת ששני הצדדים זהים לכל $x$, לא רק בנקודה אחת. התאמה בנקודה $x$ ספציפית אינה מספקת.
בדוק כי $y=x^2+C$ פותר את $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- גזור: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ (ה-$+C$ מתבטל).
- המשוואה הדיפרנציאלית אומרת $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- שני הצדדים שווים ל$2x$, ולכן $y=x^2+C$ הוא פתרון עבור כל קבוע $C$. ✓
כדי לאמת פתרון למשוואה דיפרנציאלית, גזרו את המועמד והציעו אותו (יחד עם גזרותיו) לתוך המשוואה; זהו פתרון אם ורק אם שני האגפים שווים לכל $x$. אין צורך באינטגרציה — האמתה היא גזירה ובדיקה. משפחה עם קבוע $C$ היא הפתרון הכללי.