אינטגרציה של פונקציות באמצעות חלוקה ארוכה והשלמת ריבוע
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | השלמה לריבוע מושלם |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | חילוק ארוך של פולינומים |
כתוב מחדש, ואז אינטגרל
- חלק מקבוצות רציונליות אינן תואמות אף אנטי-אינטגרלי בסיסי — עד שתכתוב אותן מחדש.
- שני כלים אלגבריים מכינים אינטגרנד עקשני: חילוק ארוך ו-השלמה לריבוע מושלם.
- שניהם אינם חלק מהקלקולוס; הם פשוט מעצבים מחדש את השבר לצורה ידידותית יותר.
- אז כלל בסיסי או אינטגרל ידוע יסיים את העבודה.
חילוק ארוך לשברים "כבדים למעלה"
- אם דרגת המונה היא $\ge$ דרגת המכנה, השבר הוא לא תקין.
- השתמש בחלוקה ארוכה של פולינומים כדי לפצל אותו לסכום של פולינום ומישור שאריות תקין.
- $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ — כעת כל חלק נאסף בקלות.
- $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
עקומה רציונלית לשינוי צורה
y = a / (x − b)
שבר לא רציונלי כמו $\tfrac{x^2}{x+1}$ הופך לקו ישר פלוס שארית קטנה — כל חלק מדין לאינטגרציה בקלות.
השתמש בחלוקה ארוכה של פולינומים כאשר דרגת המונה היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שבר לא הוולדי (מכסה) דורש חלוקה.
חלוקה ארוכה נותנת $\dfrac{x^2}{x+1}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x^2=(x+1)(x-1)+1$, ולכן המנה היא $x-1$ שארית $1$.
השלמת מלבן לצורות טריגונומטריות הפוכות
- מכנה כמו $x^2+4x+5$ מסתיר ריבוע מושלם: השלם את המלבן ל$(x+2)^2+1$.
- צורה זו של $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ תואמת לאנטי-פונקציה של ארטנגנס.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\int\dfrac{1}{(x+2)^2+1}\,dx=\arctan(x+2)+C$.
- השלמת המלבן הופכת מכנה ריבועי מבולגן לדוגמה נקייה של $u^2+a^2$.
השלמת ריבוע, $x^2+4x+5=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(x+2)^2=x^2+4x+4$, ולכן $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$.
הצורה $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ אינטגרלית לתפקיד ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac{1}{u^2+1}\,du=\arctan u+C$.
זיהוי האות
- דרגת המונה $\ge$ דרגת המכנה → חפש קודם כל בחלוקה ארוכה.
- מכנה ריבועי שאינו ניתן לפירוק (ללא שורשים ממשיים) → נסה השלמת מלבן לעבר ארטנגנס.
- פעולות אלו הן הכנות; האינטגרציה בפועל היא כלל בסיסי או הצבה u לאחר מכן.
- זיהוי איזה שינוי להשתמש בו הוא למעשה מחצית הקרב.
$\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חלק קודם, ואז אינטגרל $x-1+\tfrac1{x+1}$.
התאם את האותות לשינוי הצורה: בחר את כל הזוגות הנכונים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
חלוקה ארוכה היא רק לשברים לא הוולדיים; שניהם שינויי צורה לפני-אינטגרציה.
בצע את החלוקה הארוכה רק כאשר השבר הוא לא תקין (דרגת המונה $\ge$ דרגת המכנה) — חלוקה של שבר תקין לא תוביל לשום מקום. ובאחר כך להשלמת המלבן, שמור על הקבוע הנכון: $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$, לא $(x+2)^2+5$. קבוע שגוי ישבור את התאמה הארטנגנס.
נאסוף את $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx$.
- חלוקה ארוכה: $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$.
- נאסוף איבר באיבר: $\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
- (כל חלק שנשנה משתמש בכלל אנטי-פונקציה בסיסי.)
כאשר פונקציית אינטגרציה רציונלית אינה מתאימה לכלל בסיסי, שנה אותה תחילה: השתמש בחלוקה ארוכה של פולינומים בשבר לא תקין (דרגת המונה $\ge$ דרגת המכנה), או השלם את המלבן במכנה ריבועי שאינו ניתן לפירוק כדי להגיע לצורת ארטנגנס. לאחר מכן סיים עם אנטי-פונקציה בסיסית.