אינטגרציה באמצעות הצבה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | החלפת משתנה (u-substitution) |
חוק השרשרת, בפעולה הפוכה
- חוק השרשרת יוצר נגזרות של פונקציות מורכבות. האינטגרציה צריכה להפוך זאת.
- הצבת משתנה u (או הצבת u) היא ההפוך מחוק השרשרת.
- הוא זיהוי פונקציה מורכבת יחד עם הנגזרת הפנימית שלה ומפשט על ידי שינוי שמות.
- תאמן אותו וקבוצה עצומה של אינטגרלים שאחרת היו בלתי אפשריים תהפוך לשגרה.
החלפת משתנה היא הפועלת ההפוכה של איזה כלל גזירה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
היא מבטלת את פעולתו של כלל השרשרת.
שנה את השם לפונקציה הפנימית ל$u$
- חפש פונקציה פנימית $g(x)$ שהנגזרת שלה $g'(x)$ מופיעה גם היא (עד לקבוע) במכילת האינטגרל.
- הניחו $u=g(x)$; אזי $du=g'(x)\,dx$.
- שנו את כל האינטגרל לביטוי במונחי $u$ — הביטוי המסורבל $x$ הופך לאינטגרל פשוט של $u$.
- לאחר מכן אינטגרלו ב-$u$ והחזירו הצבה $u=g(x)$ בסוף.
פונקציה מורכבת המוכנה להצבה u-sub
y = ax³ + bx
אופייני לאינטגרנד כמו $2x(x^2+1)^3$ מסתיר פונקציה פנימית ונגזרת שלה — האות להצבה.
עבור $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$, בחירה טובה היא $u=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ל-$u=x^2+1$ יש את $du=2x\,dx$, שהוא נוכח.
דוגמה נקייה לדפוס
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. הפונקציה הפנימית $u=x^2+1$, ולכן $du=2x\,dx$.
- ה-$2x\,dx$ באינטגרל הוא בדיוק $du$ — התאמה מושלמת.
- האינטגרל הופך ל-$\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$.
- החזר: $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$.
$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ שווה ל...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$, ואז לבצע הצבה הפוכה.
התמודדות עם הקבוע או עם הגבולות
- אם $du$ שגוי בגורם קבוע, פשוט כפל/חלק כדי לתקן (למשל, $x\,dx=\tfrac12\,du$).
- עבור אינטגרל מוגדר, או שהחזר ל-$x$ לפני הערכה, או שנה את גבולות האינטגרציה לערכי $u$.
- שינוי גבולות נקי יותר: המר $a,b$ ל-$u(a),u(b)$ ולא חזור ל-$x$.
- תמיד סיים תשובה בלתי מוגדרת במונחי המשתנה המקורי $x$.
הערכה: $\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$ (נתנו $u=x^3+1$). הקלטו ערך עשרוני.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\int_1^2 u^2\,du=\tfrac{8-1}{3}=\tfrac73\approx2.333$.
הצבת משתנה נכונה ממירה את $dx$ כולה ל-$du$, ללא שאריות $x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שאריות של $x$ או $dx$ הן הטעות הקלאסית.
החלפת משתנה עובדת כאשר האינטגרנד מכיל את פונקציית הפנימית...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חייב להיות נוכח הגזירה הפנימית $g'(x)$ (כפול בקבוע).
שיטת ההצבה u עובדת רק כאשר הגזירה הפנימית קיימת (עד קבוע). אם $g'(x)$ אינו נוכח, אין להמציא אותו. כמו כן, אל תשכחו להמיר את $dx$ ל-$du$ — השארת $dx$ זר או שאריות $x$ היא טעות קלאסית. באינטגרלים מסודרים, יש לשנות את הגבולות או לבצע הצבה הפוכה, אך לא שילוב של שניהם.
חשב את $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$.
- נתן $u=x^3+1$, ולכן $du=3x^2\,dx$. גבולות: $x=0\Rightarrow u=1$, $x=1\Rightarrow u=2$.
- האינטגרל הופך ל-$\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$.
u-substitution הופך את חוק השרשרת: הגדר $u=g(x)$ (הפונקציה הפנימית), החלף $g'(x)\,dx$ ב-$du$, אינטגרל ב-$u$, ואז החזר (או שנה את גבולות האינטגרציה עבור אינטגרל מוגדר). זה עובד כאשר הנגזרת הפנימית מופיעה עד לגורם קבוע. תמיד המר את $dx\to du$ במלואו.