מציאת פונקציות מקור ואינטגרלים לא מסודרים: כללים בסיסיים וסמנטיקה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | אינטגרל לא מוגדר |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | קבוע האינטגרציה |
גזירה הפוכה ברציפות
- FTC חלק 2 דורש פונקציית מקיימת — לכן נלמד למצוא אותן.
- פונקציית מקיימת של $f$ היא כל פונקציה שהגזירה שלה היא $f$; המשפחה כולה היא ה-אינטגרל הבלתי מוגדר.
- $\displaystyle\int f(x)\,dx$ (ללא גבולות) משמעו "הפונקציית המקיימת הכללית של $f$".
- כל כלל גזירה, קריאה הפוכה, הופכת לכלל אינטגרציה.
כלל החזקה לאינטגרציה
- הפוך את כלל החזקה: הוסף 1 למעריך, ואז חלק במעריך החדש.
-
$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
- בדוק: גזירת ה-$\frac{x^{n+1}}{n+1}$ נותנת $x^n$. ✓
- (המקרה $n=-1$ הוא מיוחד: $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.)
מהו $\displaystyle\int x^3\,dx$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הוסף 1 למעריך, חלק בו: $\tfrac{x^4}{4}+C$.
כלל החזקות נכשל עבור $n=-1$. מהו $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$.
לעולם אל תשכח את ה-$+C$
- מכיוון שהגזירה של קבוע היא $0$, ניתן להוסיף כל קבוע — ולכן הפונקצייה המקיימת היא משפחה.
- תמיד הצרף את קבוע האינטגרציה $+C$ לאינטגרל בלתי מוגדר.
- ללא גבולות אין דרך לקבוע איזה קבוע, ולכן $+C$ נשאר.
- (באינטגרל מוגדר $+C$ מתאפס — זה ההבדל.)
משפחה שהוזזה ב-+C
y = ax³ + d
כל פונקציות המקור של $f$ שונות זו מזו רק בזזו אנכי $+C$ — אותה שיפוע בכל מקום.
אינטגרל לא מסודר צריך לכלול את קבוע האינטגרציה $+C$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פונקציית המקור היא משפחה; $+C$ הוא חלק מהתשובה.
האינטגרלים האנטי-תקניים הסטנדרטיים
- הפוך את הנגזרות היסודיות שאתה מכיר:
- $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
- $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
- שלב עם ליניאריות כדי לאינטגרל כל פולינום או סכום איבר באיבר.
מהו $\displaystyle\int \sin x\,dx$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (שימו לב למינוס).
מצא את $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפוך את כלל החזקות איבר איבר, פלוס $C$.
בחר את כל פונקציות המקור הנכונות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\int\cos x\,dx=\sin x+C$ (חיובי); האחרון שגוי.
שתי עובדות בסיסיות: תמיד הוסף $+C$ לאינטגרל לא מוגדר (זה חלק מהתשובה), וחוק החזקות מתכשל עבור $n=-1$ — $\int x^{-1}\,dx$ הוא $\ln|x|+C$, לא $\frac{x^0}{0}$. כמו כן שימו לב לסימן על $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (מינוס, המעקב אחר הנגזרת של $\cos$).
מצא את $\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$.
- איבר באיבר (חוק החזקות הפוך): $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$; $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$; $\;5x$.
- $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
- בדוק על ידי נגזירה: $6x^2-4x+5$. ✓
אינטגרל לא מוגדר $\int f\,dx$ הוא האינטגרל האנטי-תקני הכללי של $f$. חוק החזקות לאינטגרציה: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ עבור $n\neq-1$ (וגם $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$). תמיד הוסף את קבוע האינטגרציה $+C$, ואינטגרל סכומים איבר באיבר.