שימוש בתכונות של אינטגרלים מוגדרים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| linearity/lɪˈnɪərɪti/ | ליניאריות |
כללים שמקלים על אינטגרציה
- אינטגרלים מוגדרים עומדים בחוקי אלגברה מסודרים — אותם כללים נוחים שהן לגבולות וגזירות.
- תכונות אלו מאפשרות לך לפצל, לשלב ולסדר מחדש אינטגרלים ללא חשיבה מחדש על השטחים.
- רובם נובעים ישירות מההגדרה "אינטגרל = שטח ממוסמן".
- למד את מספר הקטן של כללים אלו והאינטגרלים המורכבים יתארו לרוב בשלב אחד.
$\int fg\,dx$ שווה ל-$\left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אין כלל מכפלה לאינטגרלים.
ליניאריות: פירוק סכומים והוצאת קבועים
- כפיל קבוע: $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$.
- סכום / הפרש: $\displaystyle\int_a^b \big(f\pm g\big)\,dx = \int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx$.
- יחד, תכונות אלו הן ליניאריות — אינטגרל כל איבר בנפרד, עם המקדמים בפנים.
- בדיוק כמו בגזירה, טיפל בקומבינציה חתיכה אחת באחת.
נתון $\int_0^4 f\,dx=10$ ו-$\int_0^4 g\,dx=3$, מצאו $\int_0^4 (2f-g)\,dx$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2(10)-3=17$.
רוחב אפס והחלפת גבולות
- רוחב אפס: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ — אין רווח, אין שטח.
- החלפת גבולות: $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ — הפיכת הכיוון מנגדת את הסימן.
- לכן, סדר הגבולות נושא סימן.
- שני הכללים הללו שומרים על הסדר בחישובים כשהגבולות זזים.
מהי ערך $\int_5^5 f(x)\,dx$ לכל $f$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
קטע באפס רוחב → $0$.
אם $\int_1^4 f\,dx=7$, אזי $\int_4^1 f\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
החלפת גבולות משנה סימן: $-7$.
בחרו את כולן התכונות הנכונות עבור אינטגרלים מוגדרים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השלוש הראשונות נכונות; ה"כלל" המכפלה הוא שגוי.
פירוק של רווח
- רווחים סמוכים: $\displaystyle\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$.
- ניתן לפצל אינטגרל אחד לחלקים בכל נקודה פנימית $b$ ולהוסיף אותם.
- זה קריטי עבור פונקציות מקוטעות ועבור שימוש בשטחי משנה נתונים.
- אפשר גם לעשות זאת בהפוך: לשלב שני אינטגרלים סמוכים לאחד.
להפריד את השטח בנקודה פנימית
y = x²
השטח מ-$a$ ל-$c$ שווה לשטח מ-$a$ ל-$b$ בתוספת השטח מ-$b$ ל-$c$ — אינטגרלים מתפרקים על קטעים סמוכים.
אם נתונים $\int_0^2 f\,dx=5$ ו$\int_2^6 f\,dx=8$, מצא את $\int_0^6 f\,dx$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
קטעים סמוכים נסכמים: $5+8=13$.
אין כלל מכפלה לאינטגרלים: $\int fg\,dx \neq \left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$. ליניאריות מפצלת רק סכומים וכפולות קבועות, לעולם מכפלות או מנה. וזכרו שחילופי הגבולות הופכים את הסימן — נקודה קלה מאוד להחמיק.
נתון $\displaystyle\int_0^4 f\,dx=10$ ו-$\displaystyle\int_0^4 g\,dx=3$, מצאו $\displaystyle\int_0^4\big(2f-g\big)\,dx$.
- ליניאריות: $\displaystyle\int_0^4 2f\,dx - \int_0^4 g\,dx = 2\int_0^4 f\,dx - \int_0^4 g\,dx$.
- $=2(10)-3=17$.
- אין צורך לדעת את ערכי $f$ או $g$ עצמם — התכונות עושות זאת עבורכם.
תכונות אינטגרל מוגדר: ליניאריות ($\int kf = k\int f$; $\int (f\pm g)=\int f\pm\int g$), רוחב אפס ($\int_a^a f=0$), חילוף גבולות מסמן ($\int_b^a f=-\int_a^b f$), ו-פיצול ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$). אין כלל מכפלה לאינטגרלים.