המשפט היסודי של החשבון והפונקציות הנאגרות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | משפט היסוד של הקלקולוס |
| accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | פונקציית הצטברות |
הגשר בין שטח למשיק
- נגזירה (שיפועים) ואינטגרציה (שטחים) נראים לא קשורים — אך הן הופכות זו של זו.
- המשפט היסודי של החשבון (FTC) הוא הקישור המדהים הזה.
- החלק הראשון שלו עוסק בפונקציה שהוגדרת על ידי אינטגרל, הנקראת פונקציית הצטברות.
- לקחת את הנגזרת שלה, וב–קסם – תקבלו בחזרה את הפונקציה שנאנסת.
פונקציית ההצטברות
- קבעו גבון תחתון $a$ ותנו לגבון העליון להשתנות: $$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
- $g(x)$ הוא השטח המצטבר (החתימי) מתחת ל$f$ מ$a$ ועד ל$x$.
- כאשר $x$ זז ימינה, $g$ אוסף יותר שטח; המשתנה של האינטגרציה $t$ הוא רק מקום שמור.
- $g$ היא פונקציה אמיתית של $x$ — ניתן לשרטט אותה, לחשב את הנגזרת שלה ולנתח אותה.
שטח מצטבר עד x
y = t² + 1 (האינטגרנד)
ככל שהגבול העליון נע ימינה, $g(x)$ אוסף יותר שטח; קצב הגידול המיידי שלו הוא בדיוק $f(x)$.
פונקציה בצורת $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ נקראת פונקציית ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זה מצטבר על פני השטח עם סימן עד לנקודה $x$.
ב-$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, המשתנה $t$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$t$ הוא משתנה זדוני; $x$ הוא הקלט האמיתי של $g$.
חלק 1 מחוק האינטגרציה והנגזרה: הנגזרת מבטלת את האינטגרל
- החלק הראשון בפס"ק אומר:
-
$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$
- במילים: הנגזרת של פונקציית הצבירה היא האינטגרנד עצמו.
- קצב צבירת השטח ב-$x$ = הגובה $f(x)$ שם. פשוט ויפה.
על פי החלק 1 של FTC, $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הנגזרת של פונקציית הצטברות היא האינטגרנד $f(x)$.
עבור $g(x)=\int_2^x (t^2+1)\,dt$, מצא את $g'(3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$g'(x)=x^2+1$, ולכן $g'(3)=10$.
עם היכופלות כלל השרשרת
- אם הגבול העליון הוא פונקציה $u(x)$, כלל השרשרת נכנס לפעולה:
- $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x)$.
- להציב את הגבול העליון בתוך $f$, ואז למכור בנגזרת של גבול עליון זה.
- (גבול תחתון משתנה הופך את הסימן, מכיוון שהחלפת גבולות מניבה אינטגרל שלילי.)
עבור $\dfrac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt$, התשובה היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כלל השרשרת: הצב את הגבול העליון, כפול הנגזרת שלו $2x$.
כאשר הגבול העליון הוא $u(x)$, מכפילים את האינטגרנד-על-$u$ ב-$u'(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גורם זה מכלל השרשרת הוא נדרש.
חלק 1 מחוק האינטגרציה והנגזרה נותן $g'(x)=f(x)$ רק כאשר $x$ הוא הגבול העליון הרגיל. אם הגבול העליון הוא $u(x)$ (כמו ⟨$x^2$⟩), עליכם להכפיל ב-$u'(x)$: $\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)\cdot 2x$. שכחון של גורם הכלל השלשר这里是经典错误。
נתון $g(x)=\displaystyle\int_2^x (t^2+1)\,dt$. מצאו $g'(x)$ ו-$g'(3)$.
- לפי חלק 1 מחוק האינטגרציה והנגזרה: $g'(x)=x^2+1$ (רק הפונקציה בתוך האינטגרל עם $t\to x$).
- $g'(3)=3^2+1=10$.
- (אין צורך לחשב את האינטגרל עצמו — הנגזרת "קוראת" אותו ישירות).
פונקציית הצטברות $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ אוספת שטח ממוסמן עד ל-$x$. חלק 1 מחוק האינטגרציה והנגזרה: $g'(x)=f(x)$ — נגזרת של פונקציית הצטברות מחזירה את הפונקציה בתוך האינטגרל. אם הגבול העליון הוא $u(x)$, הכפילו ב-$u'(x)$ (כלל השלשר这里是经典错误。