קירוב שטחים בעזרת סכומי רימן
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | סכום רימן |
| left/left/ | שמאלית |
| right/raɪt/ | ימנית |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | אמצע |
| trapezoid/ˈtræpɪzɔɪd/ | טרפז |
| trapezoidal rule/ˈtræpɪzɔɪdl ruːl/ | כלל הטרפז |
הערך שטח מעוגל בעזרת מלבנות
- השטח תחת עקומה נדיר להיות מלבן מסודר — לכן קרבו אותו עם מספר רב של מלבנים צרים.
- חלקו את המרווח לפסים, בנו מלבן על כל פס וסכמו את שטחיהם.
- סכום זה של שטחי המלבנים הוא סכום רימן.
- ככל שהמלבנים יותרים ודקים יותר → כך הערכה טובה יותר לשטח האמיתי.
השטח שאנו מקרבים
y = x²
מלבנים או טרפזים ממלאים את האזור המוצל תחת העקומה — ככל שהרצועות יותר ודקות, כך ההערכה מדויקת יותר.
שימוש במלבנים יותר ודקים משפר בדרך כלל את הערכת סכום רימן.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רצועות דקות נדבקות טוב יותר לעקומה.
מלבנים שמאליים, ימינים ואמצעיים
- גובה כל מלבן מגיע מהפונקציה — אך איפה בפס יש למדוד אותו?
- סכום שמאלי: הגובה לקוח מקצה השמאלי של כל פס.
- סכום ימני: הגובה לקוח מקצה הימני.
- סכום אמצעי: הגובה לקוח מהאמצע — לרוב הדיוק הגבוה ביותר משלושתם.
עבור $f(x)=x^2$ ב-$[0,2]$ עם $2$ מלבנים ימינים (רוחב $1$): גבהים $f(1)=1$, $f(2)=4$. מצאו את סכום רימן הימני.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$1\cdot1+4\cdot1=5$.
אותה הגדרה, אך סכום ריימן משמאלי: גבהים $f(0)=0$, $f(1)=1$. מצאו אותו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$0\cdot1+1\cdot1=1$.
אילו מהם הן הדרכים הסטנדרטיות לבחירת גובה המלבן בסכום רימן?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שמאלית, ימנית ואמצע הרווח הן הבחירות הסטנדרטיות.
טראפזואידים מתאימים אף טוב יותר
- במקום מלבן בעל גג שטוח, חברו בין שני קצוות הגובה באמצעות גג אלכסוני: טראפזואיד.
- הכלל הטראפזואידי מחשב את הממוצע של הגובה השמאלי והימני בכל פס.
- הוא צמוד לעקומה חלקה יותר מאשר מלבנים, ולכן לרוב מדויק יותר.
- שטח כל טראפזואיד $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$.
ה____ כלל משתמש בקצוות אלכסוניים (ממוצע הגבהים בצדדים) להתאמה טובה יותר מאשר מלבנים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כל טרפז ממין את הגבהים השמאלי והימני.
הערכה יתר או חסר?
- על פונקציה עולה: סכומים שמאליים משערים פחות, סכומים ימיים משערים יותר.
- על פונקציה יורדת: ההתנהגות הפוכה — שמאלי משער יותר, ימני משער פחות.
- שגיאת הכלל הטראפזואידי תלויה בקעירות (יתר בקעירות כלפי מעלה, חסר בקעירות כלפי מטה).
- ידע בכיוון השגיאה מאפשר לחסום את השטח האמיתי.
עבור פונקציה עולה, סכום רימן שמאלי נותן...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גבהים שמאליים הם הצד הקטן ביותר על עקומה עולה → הערכת חסר.
שלושת הכללים של המלבנים יכולים לתת תשובות שונות מאוד עבור מספר קטן של פסים — הם קרובות, לא השטח המדויק. ועובדה אם סכום שמאלי או ימני משער יתר או חסר תלויה בהיות הפונקציה עולה או יורדת, ולא רק בכלל לבדו. תמיד בדקו את התנהגות הפונקציה.
העריכו את השטח מתחת ל-$f(x)=x^2$ ב-$[0,2]$ עם $2$ מלבנים ימינים (רוחב $1$).
- גבהים ימינים: $f(1)=1$ ו$f(2)=4$.
- סכום ימני $=1\cdot1+4\cdot1=5$.
- (השטח האמיתי הוא $\tfrac83\approx2.67$; מכיוון ש$x^2$ היא פונקציה עולה, הסכום הימני מעריך יתר — כצפוי.)
סכום ריימן מקרב את השטח באמצעות מלבנים: גבהים שמאליים, ימינים או אמצעיים. כלל הטרפז משתמש בקצוות אלכסוניים (ממוצע הגבהים בשוליים) להתאמה מדויקת יותר. עבור פונקציה עולה, סכומים שמאליים מעריכים חסר וסכומים ימינים מעריכים יתר; ככל שהפסים רבים יותר → כך ההערכה טובה יותר.