חקירת התנהגות של קשרים סתומים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| implicit relations/ɪmˈplɪsɪt rɪˈleɪʃnz/ | יחסים סמויים |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | גזירה סמויה |
ניתוח עקומות שאינן פונקציות
- מעגלים, אליפסות וערכים אינפורמליים אחרים נכשלים במבחן הקו האנכי — הם אינם $y=f(x)$.
- אך כלי החישוב העדיין עובדים באמצעות גזירה אינפורמלית.
- ניתן למצוא את שיפועי המשיק שלהם, לזהות משיקים אופקיים ואנכיים, ואף את הקעירות שלהם.
- שיעור זה מיישם את השיטה האינפורמלית של יחידה 3 בשאלות הניתוח של יחידה 5.
משיקים אופקיים: מונה אפס
- מגזירה אינפורמלית מתקבל $\tfrac{dy}{dx}$ כשבר.
- משיק אופקי מתרחש כאשר $\tfrac{dy}{dx}=0$ — השווה את המונה לאפול (כשהמכנה $\neq0$).
- עבור $x^2+y^2=25$: $\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}=0$ כאשר $x=0$, כלומר ב$(0,5)$ וב$(0,-5)$ (מעלה ומטה).
- אלו הנקודות הגבוהות והנמוכות ביותר של העקומה.
משיקים לעיגול
y = √(25 − x²) (חצי עליון)
על $x^2+y^2=25$, העליון התחתון והשמאלי הימני הם משיקים אופקיים; השמאלי והימני הם משיקים אנכיים.
משיק אופקי בעקומה אי-מפורשת מתקבל כאשר $\tfrac{dy}{dx}$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
משיק אופקי ⇔ שיפוע $0$ ⇔ המונה של $\tfrac{dy}{dx}$ הוא אפס.
עבור $x^2+y^2=25$ ($\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$), בחרו כל הנקודות עם משיק אופקי.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{dy}{dx}=0$ כאשר $x=0$: הנקודות העליונות והתחתונות.
משיקים אנכיים: מכנה אפס
- משיק אנכי מתרחש כאשר $\tfrac{dy}{dx}$ אינו מוגדר — השווה את המכנה לאפול (כשהמונה $\neq0$).
- עבור $x^2+y^2=25$: $-\tfrac{x}{y}$ אינו מוגדר כאשר $y=0$, כלומר בנקודות $(5,0)$ ו-$(-5,0)$ (משמאל ומימין).
- בקו זה המשיק אנכי — העקומה מתכווננת לאנך.
- אפס במונה → משיק אופקי; אפס במכנה → משיק אנכי.
משיק אנכי מתקבל כאשר ה____ של $\tfrac{dy}{dx}$ הוא אפס.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכנה שווה לאפס ⇒ שיפוע לא מוגדר ⇒ משיק אנכי.
השוואת המכנה של $\tfrac{dy}{dx}$ לאפס מוצאת משיקים שהם...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכנה שווה לאפס ⇒ משיק אנכי (מונה שווה לאפס ⇒ משיק אופקי).
קעירות: הנגזרת השנייה האיפליציטית
- כדי למצוא את הקעירות, נגזור שוב את $\tfrac{dy}{dx}$ איפליציטית, כדי לקבל את $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- יש לזכור שכל $y$ עדיין תלוי ב-$x$, ולכן חוק השרשרת יופיע שוב, ונציב את ה-$\tfrac{dy}{dx}$ הידוע.
- סימן ה-$\tfrac{d^2y}{dx^2}$ קובע האם העקומה קעורה למעלה/למטה בנקודה נתונה, בדיוק כמו לפני כן.
- זה יותר אלגברה, אך אותם עקרונות: $f''>0$ למעלה, $f''<0$ למטה.
נקודה מועמדת חייבת לענות למשוואה המקורית (להיות על העקומה) כדי להיחשב.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בדוק שהנקודה נמצאת באמת על העקומה, ולא רק בתנאי השיפוע.
כדי למצוא קעירות בעקומה אי-מפורשת ת...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הנגזרת השנייה האי-מפורשת $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ נותנת את הקעירות לפי סימנה.
עבור משיקים אופקיים נשווה את ה-מונה של $\tfrac{dy}{dx}$ לאפס; עבור משיקים אנכיים נשווה את ה-מכנה לאפס — אין להחליף ביניהם. נקודה היא תקפה רק אם היא באמת נמצאת על העקומה: יש לוודא שהיא מקיימת את המשוואה המקורית, ולא רק את תנאי הנגזרת.
מצאו את המשיקים האופקיים והאנכיים של $x^2+y^2=25$.
- $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$.
- אופקיים ($\tfrac{dy}{dx}=0$): $x=0\Rightarrow(0,5),(0,-5)$.
- אנכיים ($\tfrac{dy}{dx}$ אינו מוגדר): $y=0\Rightarrow(5,0),(-5,0)$.
ניתחו יחס איפליציטי עם נגזירה איפליציטית: $\tfrac{dy}{dx}=0$ (מונה אפס) נותן משיקים אופקיים; $\tfrac{dy}{dx}$ אינו מוגדר (מכנה אפס) נותן משיקים אנכיים. נגזור שוב איפליציטית עבור $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ וקראו את הקעירות מהסימן שלו. תמיד ודאו שנקודות נמצאות על העקומה.