פתרון בעיות אופטימיזציה
הוצגמההגדרה למספר המנצח
- צמצמתם את הבעיה למשתנה אחד. עכשיו פתרו את בעיית האופטימיזציה.
- התוכנית: גזרו את פונקציית המטרה, מצאו נקודות קריטיות, ואמתו איזו מהן היא המקסימום או המינימום.
- לאחר מכן ענו על השאלה בפועל – לעיתים המידות או הערך האופטימלי, עם יחידות מידה.
- זוהי מכונת הקיצון של היחידה הזו, שהוחלה על סיפור.
שלבי הפתרון
- 1. גזרו את פונקציית המטרה בעלת המשתנה היחיד והשווה אותה לאפס כדי למצוא נקודות קריטיות.
- 2. אמתו מקסימום מול מינימום באמצעות מבחן הנגזרת הראשונה או הנגזרת השנייה.
- 3. בדקו גם את נקודות הקצה של התחום, אם התחום סגור או חסום.
- 4. ענו על השאלה שנשאלת – הצביעו את המשתנה האופטימלי החזרה לתוך הפונקציה.
לשטח יש שיא יחיד
y = ax² + bx
האזור שבו הפרבולה פונה כלפי מטה עם קודקוד יחיד — הנגזרת מתאפסת בקודקוד, וזהו מקסימום.
עבור $A(x)=40x-2x^2$, פתור את $A'(x)=40-4x=0$ עבור הנקודה הקריטית $x$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$40-4x=0\Rightarrow x=10$.
סדר שלבים לפתרון בעיות מיטוב.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
גזרו, מצאו, אימתו, תנו מענה.
אמתו, אל תניחו
- נקודה קריטית היא רק מועמד – עליכם להראות שהיא המקסימום (או המינימום) הרצוי.
- מבחן הנגזרת השנייה: אם $A''(x)<0$ בנקודה הקריטית, מדובר במקסימום.
- או בדקו את הסימן של $A'$ סביבה, או השוו מול נקודות הקצה של התחום.
- דילוג בשלב האישוש הוא טעות נפוצה שאובדת נקודות; ה-AP דורש נימוק.
מכיוון ש$A''(x)=-4<0$, הנקודה הקריטית היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קמורה כלפי מטה ⇒ מקסימום.
יש להוכיח שהנקודה הקריטית היא אכן מקסימום ולא רק להניח זאת.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נדרש בדיקת נגזרת או בדיקת קצוות.
ענו על השאלה בפועל
- אם נתבקשה שטח מקסימלי, דווחו על ערך השטח; אם נתבקשו מידות, דווחו על האורכים.
- כלול יחידות ובדוק שהתשובה סבירה פיזיקלית.
- קרא שוב את ההנחיה — "מה הממדים?" ו"מה השטח הגדול ביותר?" דורשים מספרים שונים בסופו של דבר.
- מספר ללא התווית הנכונה מאבד נקודות.
עם $x=10$ ו$A(x)=40x-2x^2$, מצאו את השטח המקסימלי.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$A(10)=400-200=200$.
אם השאלה מבקשת את המידות, עליך לדווח על...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
דווח על מה שנשאל — מידות, לא שטח, במקרה זה.
שתי טעויות נפוצות: (1) דיווח על ערך $x$ הקריטי כאשר השאלה מבקשת את הגודל הממוטב (או להפך) — קרא שוב מה נדרש. (2) דילוג על ההצדקה שהנקודה הקריטית שלך היא באמת מקסימום/מינימום. תמיד ודא זאת עם בדיקת נגזרת או בדיקת קצה.
מקסם שטח $A(x)=40x-2x^2$ (מתוך הגדר הגדר), $0<x<20$.
- $A'(x)=40-4x=0\Rightarrow x=10$.
- $A''(x)=-4<0$ → פונה למטה → מקסימום ✓.
- אז $y=40-2(10)=20$, ו$A=10\cdot20=200\ \text{m}^2$. הממדים $10\times20$, שטח מקסימלי $200\ \text{m}^2$.
כדי לפתור בעיית מיטוב: גזור את הפונקציית המטרה בעלת המשתנה היחיד, השווה אותה לאפול כדי למצוא נקודות קריטיות, וודא את המקסימום/מינימום עם בדיקת נגזרת (ובדוק קצוות התחום), ואז ענה בדיוק על השאלה עם יחידות. אל תדווח על הגודל הלא נכון, ותמיד הצד.