קביעת מרווחים שבהם פונקציה עולה או יורדת
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| sign of the first derivative/saɪn ɒvðə fɜːst dɪˈrɪvətɪv/ | סמן הנגזרת הראשונה |
| sign chart/saɪn tʃɑːt/ | טבלת סימנים |
סימן ה-$f'$ מספר את הסיפור
- האם עקומה עולה או יורדת נכתב ב-סימן הנגזרת הראשונה.
- $f'(x)>0$ על קטע → $f$ מתגבר שם (עולה במעלה).
- $f'(x)<0$ → $f$ מתמתן (יורד למטה).
- לכן כדי למפות היכן ה-$f$ עולה ויורד, פשוט לעקוב אחר סימן ה-$f'$.
בעלייה כאשר f′ > 0
y = ax³ + cx
העקומה עולה כאשר השיפוע חיובי ויורדת כאשר שלילי — סימן ה-$f'$ תורגם כל מרווח.
פונקציה עולה על מרווח בדיוק כאשר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נגזרת ראשונה חיובית מעידה על עלייה.
בניית טבלת סימנים
- התחילו במציאת נקודות הקריטיות (היכן ה-$f'=0$ שווה לאפס או שאינו מוגדר) — הן מחלקות את ציר המספרים.
- ציירו טבלת סימנים: סמנו את נקודות הקריטיות, ובין כל שתי נקודות נוצר קטע פתוח.
- בחרו נקודת מבחן בכל קטע ובדוקו את סימן ה-$f'$ שם.
- סימן אחד לכל קטע מספיק — ה-$f'$ לא יכול לשנות סימן ללא מעבר דרך נקודה קריטית.
עבור $f'(x)=3(x-1)(x+1)$, חשב את $f'(0)$ כדי לבדוק את המרווח האמצעי.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$3(-1)(1)=-3<0$, ולכן $f$ היא יורדת ב-$(-1,1)$.
נקודות הקריטיות מחלקות את קו המספר למרווחים עבור טבלת סימנים של $f'$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
טבלת סימנים מציגה היכן ש-$f'$ חיובית או שלילית.
קריאת הקטעים
- כל קטע בו ה-$f'>0$ חיובי הוא קטע גידול; כל קטע בו ה-$f'<0$ שלילי הוא קטע ירידה.
- כתבו אותם ב-סימון קטעים: לדוגמה, מתגבר ב-$(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$.
- השתמשו בתחום ההגדרה של הפונקציה כגבולות חיצוניים.
- (האם לכלול נקודה קריטית היא פרט בשיטה; ב-AP בדרך כלל מקבלים קטעים פתוחים).
עבור $f(x)=x^3-3x$ (נקודות קריטיות $\pm1$), סמן כל המרווחים בהם הפונקציה עולה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'>0$ מחוץ ל-$[-1,1]$; יורדת בין היתר.
מדוע זה עובד
- בין שתי נקודות קריטיות רצופות, ה-$f'$ שומר על סימן אחד — אין שינוי סימן ללא אפס או הפסקה.
- לכן ערך מבחן אחד פותר את כל הקטע.
- מידע זה על הסימנים הוא הבסיס לבדיקת הנגזרת הראשונה (השיעור הבא).
- התנהגות הגידול/ירידה היא בדיוק מה שהפונקציה קצב משקפת.
פונקציה שלילית (מתחת לציר ה-$x$) יכולה עדיין להיות עולה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הגדלה תלויה ב-$f'>0$, ולא בסימן של $f$.
נקודת בדיקה אחת קובעת כל מרווח שלם מכיוון ש-$f'$ לא יכול לשנות סימן מבלי...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שינוי סימן דורש אפס או נקודה שאינה מוגדרת של $f'$.
עקוב אחר הסימן של $f'$, לא הסימן של $f$. פונקציה יכולה להיות שלילית אך גוברת (למשל, עולה מ$-5$ לעבר $-1$). "גובר" משמעותו ש-הפלטות גדלות ($f'>0$), ללא קשר לכך שהאם $f$ עצמו נמצא מעל או מתחת לציר ה-$x$.
איפה $f(x)=x^3-3x$ גובר?
- $f'(x)=3(x-1)(x+1)$; נקודות קריטיות $x=-1,1$.
- בדיקת $x=-2$: $f'>0$. בדיקת $x=0$: $f'=-3<0$. בדיקת $x=2$: $f'>0$.
- גובר על $(-\infty,-1)$ ועל $(1,\infty)$; יורד על $(-1,1)$.
הסימן של $f'$ קובע התנהגות מונוטונית: $f'>0$ → גובר, $f'<0$ → יורד. חלקו את ציר המספרים ב-נקודות הקריטיות, בנתו טבלת סימנים עם נקודת בדיקה אחת לכל מרווח, וקראו את המרווחים של עלייה וירידה. עקוב אחר הסימן של $f'$, לא של $f$.