פתרון בעיות קצבים קשורים
הוצגמתכון חוזר לשיעורים קשורים
- בעיות מילוליות של שיעורים קשורים נראות קשות עד שתעקבו אחר procedure קבוע.
- אותו חמישה צעדים בכל פעם: תמונה, משוואה, גזירה, הצבה, פתרון.
- הכלל היחיד ששומרים עליו: הצב מספרים רק לאחר הגזירה.
- שלטו במתכון וכל בעיית שיעורים קשורים תהפוך לשגרתית.
חמישה צעדים
- 1. צייר וסמן את הכמויות המשתנות; ציין מה נתון ומה נדרש.
- 2. קשר בין המשתנים באמצעות משוואה (גיאומטריה/נוסחה).
- 3. גזור שני האגפים לפי $t$ (כלל השרשרת → גורמי קצב).
- 4. הצב את הערכים הידועים ברגע זה. at that instant -> ברגע זה.
- 5. פתר עבור הקצב הנעלם; דווח עם יחידות סימן.
הנפח גדל במהירות הרבה ביותר כאשר הגודל גדול
y = a·x³ (V לעומת r)
מכיוון ש$\tfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\tfrac{dr}{dt}$, קצב רדיוס קבוע גורם לקצב נפח לעלות ככל ש$r$ גדל.
סדרו את שלבי בעיית הקצבים הקשורים בסדר.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
תרשים, הקשר, נגזירה, הצבה-פתרון.
גזור תחילה, הצב לבסוף
- מספר המשתנה חייב להישאר כמשתנה בעת הגזירה.
- אם תציב $r=5$ לפני הגזירה, הקצב שלו $\tfrac{dr}{dt}$ ייעלם — והשיטה כולה תתמוטט.
- הצב ערכי הרגע רק ב-שלב 4, לאחר שהגזירה בוצעה.
- הדברים היחידים שניתן לקבע מוקדם הם קבועים אמיתיים (כמו אורך קבוע של סולם).
עם $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, $r=5$, ו$\dfrac{dr}{dt}=2$, מצאו את $\dfrac{dV}{dt}$ ככפולה של $\pi$ (הכניסו את המספר לפני $\pi$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$4\pi(25)(2)=200\pi$.
מתי יש להציב את הערכים המספריים של הרגע?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נגזרו תחילה; הציבו מספרים רק לאחר מכן, אחרת איברים הקצב ייעלמו.
הגדרת $r=5$ לפני הנגזרה היא קיצור תקין.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זה מבטל את $\tfrac{dr}{dt}$ ומפר את השיטה.
בדוק יחידות והיגיון
- התשובה היא קצב — הצמד יחידות של תפוקה per input (למשל $\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$).
- בדוק את הסימן: כמות גדלה → חיובי; מתכווצת → שלילי.
- שאל האם הגודל היגיוני למצב.
- משפט סיכום מסודר ("הנפח גדל בקצב של ... לשנייה") יזכה בנקודות על הפרשנות.
תשובה לבעיית קצבים קשורים היא קצב, ולכן יש לדווח עליה עם ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
למשל: ס"מ³ לשנייה.
תשובה לשיעורי שינוי מופקת כ-$\dfrac{dV}{dt}=-30\,\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$. משמעות הדבר היא שהנפח הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קצב שלילי מצביע על כך שהנפח מתכווץ ב $30$ סמ"ק לשנייה.
הטעות מס' 1 בקצבים מקשרים: הצבת ערכי הרגע לפני הגזירה. שמור על כל כמות משתנה כסמלית לאורך שלב הגזירה; הצב רק לאחר מכן. הצבה מוקדמת מחסלת את איברי הקצב ומניבה תשובה שגויה (לרוב אפס).
רדיוס של בלון כדורי גדל ב-$\tfrac{dr}{dt}=2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$. במהירות גדל הנפח כאשר $r=5$ ס"מ?
- קשר: $V=\tfrac43\pi r^3$. גזור: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- הצב עכשיו $r=5$, $\tfrac{dr}{dt}=2$: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi(25)(2)=200\pi$.
- הנפח גדל ב-$200\pi\approx628\ \tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$.
פתור בעיית קצבים תלויים בחמישה שלבים: צייר/סמן, כתוב משוואת קשר, גזר ביחס ל-$t$, החלף את ערכי הרגע רק לאחר הגזירה, ופתור עבור הקצב המבוקש. דווח עליו עם יחידות וחתימה נכונים, ובדוק שהתוצאה היא סבירה.