מבוא לקצבי שינוי מקשרים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | קצב שינוי קשור |
| time/taɪm/ | זמן |
כאשר קצב אחד מניע אחר
- ניפוך בלון: הרדיוס שלו גדל, ובגלל זאת, גם הנפח שלו גדל.
- הקצבים שני קשורים — ידעת כמה מהר הרדיוס משתנה מגלה לך כמה מהר הנפח משתנה.
- בעיות מסוג זה הן קצבים תלויים: מספר כמויות משתנות יחד לאורך זמן.
- המנוע המקשר ביניהן הוא כלל השרשרת, המיושם ביחס ל-זמן.
בעיית קצבים קשורים מקשרת בין קצבי כמויותשתנות ביחס ל...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המשתנים הם פונקציות של זמן, הקשורים דרך כלל השרשרת.
התחל ממשוואה המקשרת את המשתנים
- קודם, מצא משוואה המקשרת בין הכמויות — לרוב גיאומטריה או נוסחה.
- בלון: $V=\tfrac43\pi r^3$ מקשר בין נפח למישור.
- סולם החלק על קיר: $x^2+y^2=L^2$ (פיthagoras) מקשר בין שתי המרחקים.
- משוואת הקישור הזו נכונה ב-כל רגע, ולכן ניתן לגזור אותה לפי זמן.
נפח גדל עם הרדיוס
y = a·x³ (V לעומת r)
$V=\tfrac43\pi r^3$ עולה בתלול — קצב רדיוס קטן מוביל לקצב נפח גדול כאשר $r$ גדול.
הצעד הראשון הוא לכתוב ____ שמקשר את המשתנים השונים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בדרך כלל קשר גיאומטרי או פיזיקלי.
סולם באורך $L$ מתעופף על קיר. איזו משוואה מקשרת את המרחק הבסיסי $x$ והגובה $y$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פיthagoras: הקיר והרצפה יוצרים זווית ישרה, ולכן $x^2+y^2=L^2$.
גזור ביחס לזמן
- כל משתנה תלוי בסתר ב-$t$, ולכן הגזירה מביאה קצב לכל אחד — באמצעות כלל השרשרת.
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$ נותן $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- כל איבר תורם גורם "$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$" — בדיוק כמו בגזירה סתומה, אך המשתנה הנסתר הוא $t$.
- כעת המשוואה מקשרת בין $\tfrac{dV}{dt}$ $\tfrac{dr}{dt}$.
גזירת $V=\tfrac43\pi r^3$ ביחס ל$t$ נותנת $\dfrac{dV}{dt}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כלל שרשרת בזמן: $4\pi r^2$ כפול $\tfrac{dr}{dt}$.
סדרו את הנתונים מהמבוקש
- קרא את השאלה וסמן: אילו קצבים נתונים, ואיזה קצב יחיד נדרש?
- "הרדיוס גדל בקצב של $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$" → $\tfrac{dr}{dt}=2$ נתון.
- "כמה מהר נפח הגלם גדל?" → $\tfrac{dV}{dt}$ הוא המבוקש.
- שימו לב גם לכמויות קבועות (כגון הרדיוס ברגע הנשאל עליו).
גזירת $r^3$ ביחס לזמן נותנת רק $3r^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זה נותן $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — גורם הקצב נדרש.
"הרדיוס גדל בקצב $2$ ס"מ/ש; באיזה מהירות הגודל גדל?" סמן את כל התשובות הנכונות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
קצב הרדיוס נתון, קצב הנפח מבוקש, ו$V=\tfrac43\pi r^3$ מקשר ביניהם.
משתני שיעורים קשורים הם פונקציות של זמן, ולכן גזירה של $r^3$ מובילה ל$3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — לעולם לא פשוט ל$3r^2$. שוכחים את $\tfrac{dr}{dt}$ (גורם הקצב של כלל השרשרת) והשגיאה המאפיינת מתרחשת. כל כמות משתנה תורמת את ה$\tfrac{d(\ )}{dt}$ שלה.
נפח כדור הוא $V=\tfrac43\pi r^3$. צרו את משוואת השיעורים הקשורים.
- גזרו לפי $t$: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- זה מקשר את קצב הגידול של הנפח לקצב הגידול של הרדיוס.
- נתון $\tfrac{dr}{dt}$ וה-$r$ הנוכחי, נוכל כעת לפתור עבור $\tfrac{dV}{dt}$ (שיעור הבא).
בעיית שיעורים קשורים מקשרת בין שיעורי שינוי של שתי כמויות או יותר המתפרות ב-זמן. כתבו משוואה המקשרת בין המשתנים (לרוב גיאומטריה), גזרו אותה לפי $t$ באמצעות כלל השרשרת (לכל משתן יש $\tfrac{d(\ )}{dt}$), וזהו אילו שיעורים נתונים ואיזה נדרש.