הבדלת פונקציות הפוכות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה הפוכה |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | הופכים |
שיפועים של פונקציה והדימוי שלה
- פונקציה הפוכה $f^{-1}$ מבטלת $f$: היא מחזירה את הגרף דרך הישר $y=x$.
- החזרה בלומדת בין עלייה לירידה — ולכן הופכת את השיפוע הפוך.
- זה נותן קיצור דרך יעיל: ניתן למצוא את הנגזרת של ההפוכה מהנגזרת של המקורית.
- הטוב מכולם, לעיתים קרובות לא צריך כלל נוסחה עבור $f^{-1}$.
חוק השיפוע ההפוך
- בנקודות תואמות, השיפועים של $f$ ו-$f^{-1}$ הם הפוכים (מכפיליים).
-
$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- לקוח זאת כך: שיפוע ההפוכה בנקודה $x$ שווה ל-$1$ חלקי שיפוע ה-$f$ באותו כניסה תואמת.
- הכניסה התואמת היא $f^{-1}(x)$ — הנקודה על ה-$f$ שמייצגת את ה-$x$.
המشتقة של פונקציה הפוכה היא $\big(f^{-1}\big)'(x)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הופך של המשתقة המקורית בנקודת הקלט המתאימה $f^{-1}(x)$.
הערכה ללא חישוב ההפוכה
- בדרך כלל צריך רק את הנגזרת בנקודה אחת, ולכן ניתן לדלג על מציאת ה-$f^{-1}$.
- נניח שה-$f(2)=5$ וה-$f'(2)=3$ נתונים. אז הנקודה $(5,2)$ נמצאת על ה-$f^{-1}$, ולכן $f^{-1}(5)=2$.
- נפעיל את החוק: $\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
- מעולם לא צריכים נוסחה — רק זוג תואם וערך נגזרת אחד.
אם נתונים $f(2)=5$ ו$f'(2)=4$, מצא את $\big(f^{-1}\big)'(5)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f^{-1}(5)=2$, ולכן $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$.
כדי לחשב $\big(f^{-1}\big)'(c)$ בנקודה נתונה, מה אתם צריכים?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
אתה צריך את הקלט המתאים ואת $f'$ שם (שאינו אפס, כך שההופכי קיים) — ללא נוסחת הופכי מלאה.
מדוע הפוך? ראו את ההחזרה
- החזרה דרך $y=x$ הופכת "עלייה של $3$ על פני ריצה של $1$" ל"עלייה של $1$ על פני ריצה של $3$".
- לכן שיפוע של $3$ הופך לשיפוע של $\tfrac13$ — בדיוק הפוך.
- זוהי הסיבה ששני ה-$f$ וה-$f^{-1}$ יש שיפועים הפוכים בנקודות תואמות.
- (זה גם מאיתר אותך: אם ה-$f'=0$ הוא אפס בנקודה כלשהי, להפוכה יש מגע אנכי שם — השיפוע אינו מוגדר.)
שיפוע והופכו
y = x³ + 1
השתקפות של עקום לאורך $y=x$ הופכת עליון-תחתון לנסיג-עליה — שיפוע של $3$ הופך ל$\tfrac13$ בפונקציה ההפוכה.
כדי למצוא $\big(f^{-1}\big)'(5)$, עליכם להעריך $f'$ בנקודת $5$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אתם מעריכים $f'$ בנקודת הקלט המתאימה $f^{-1}(5)$, ולא ב$5$.
בנקודות תואמות, השיפועים של $f$ ו$f^{-1}$ הם ____ זה של זה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
השתקפות לאורך $y=x$ הופכת את השיפוע.
אם $f'(a)=0$ בקלט המתאים, ההופכי בנקודה המתאימה יש...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חלוקה ב-$0$ אינה מוגדרת — המשיק המוחזר הוא אנכי.
השתמשו בנגזרת של ה-$f$ בכניסה התואמת $f^{-1}(x)$, ולא ב-$x$ עצמו. עבור ה-$\big(f^{-1}\big)'(5)$ אתם צריכים את ה-$f'$ בכניסה שמייצגת אל ה-$5$, כלומר $f'(f^{-1}(5))$, ולא $f'(5)$. הצבת ה-$5$ ישירות בתוך ה-$f'$ היא השגיאה הקלאסית.
ה-$f(x)=x^3+1$ משתמש ב-$f(1)=2$ וב-$f'(x)=3x^2$. מצאו את ה-$\big(f^{-1}\big)'(2)$.
- הקלט המתאים: $f^{-1}(2)=1$ (מכיוון $f(1)=2$).
- $f'(1)=3(1)^2=3$.
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$.
הנגזרת של פונקציה הפוכה היא ההופכי של נגזרת המקורית בנקודה המתאימה: $\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. החלפה סימטרית סביב $y=x$ מחליפה בין העלייה לירידה, ומפנה את השיפוע. ניתן לחשב אותה בנקודה מסוימת באמצעות זוג מתאים בלבד — ללא צורך בנוסחה עבור $f^{-1}$.