גזירה אינפיציטלית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | גזירה סמויה |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | סמוי |
כאשר אי אפשר לפתור עבור $y$
- העיגול $x^2+y^2=25$ מגדיר את $y$ באופן סתום — לא ניתן לכתוב אותו כפונקציה יחידה $y=f(x)$.
- אולם לעקומה יש עדיין שיפוע בכל נקודה. איך מקבלים $\tfrac{dy}{dx}$ מבלי לפתור עבור $y$?
- התעלול: נגזרו שתי הצדדים ביחס ל-$x$, תוך טיפול ב-$y$ כפונקציה נסתרת של $x$.
- זוהי נגזירות סתומות.
משוואה כמו $x^2+y^2=25$ מגדירה את $y$ באופן ____, שכן היא לא פותרה עבור $y$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לכן אנו משתמשים בהבדלה סתומה.
כל איבר $y$ מפעיל את כלל השרשרת
- מכיוון ש-$y$ תלוי סתום ב-$x$, גזירת איבר המכיל $y$ דורשת את כלל השרשרת.
- $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ — הפקטור נוסף הוא הנגזרת הפנימית של $\tfrac{dy}{dx}$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ כרגיל (בלי $y$, ללא פקטור נוסף).
- לכן בכל פעם שגוזרים איבר המכיל $y$, יש להוסיף כפולה של $\tfrac{dy}{dx}$.
גזירה לפי $x$, $\dfrac{d}{dx}[y^2]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כלל השרשרת: $2y$ כפול המשתנה הפנימי $\tfrac{dy}{dx}$.
פתרון עבור $\tfrac{dy}{dx}$
- לאחר הגזירה מתקבל משוואה בה $\tfrac{dy}{dx}$ מופיעה בתרכובות שונות.
- אסוף כל האיברים המכילים $\tfrac{dy}{dx}$ בצד אחד, ואת שאר האיברים בצד השני.
- הוצא גורם משותף של $\tfrac{dy}{dx}$ וחלק כדי לבודד אותו.
- התוצאה תלויה בדרך כלל ב-שני $x$ ו-$y$ — זה צפוי לעקומה.
שיפוע משיק על עקומה
y = √(25 − x²) (חצי עיגון עליון)
גם עקומה שאי אפשר לפתור עבורה $y$ יש לה משיק בכל נקודה — גזירה אינפיציטלית מוצאת שיפוע זה.
סדרו את שלבי ההבדלה הסתומה בסדר הנכון.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
הבדלו, אספו, פתרו, ולאחר מכן הערכו.
הערכה בנקודה
- לקבלת שיפוע מוחלט, הצב נקודה $(x,y)$ על העקומה בנוסחת ה-$\tfrac{dy}{dx}$ שלך.
- עבור $x^2+y^2=25$: הגזירה נותנת $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0$, ולכן $\tfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$.
- ב-$(3,4)$: השיפוע הוא $=-\tfrac34$. ב-$(3,-4)$: השיפוע הוא $=+\tfrac34$.
- אותה נקודת $x$ יכולה לתת שיפועים שונים — כי לעקומה יש שני ענפים של $y$.
עבור $x^2+y^2=25$, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$. מצא את השיפוע בנקודה $(3,4)$ (ערכי עשרוני).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$-\tfrac{3}{4}=-0.75$.
הגורם $\tfrac{dy}{dx}$ מתווסף לכל האיברים, כולל איברים טהורים מסוג $x$ כמו $x^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רק איברים המכילים $y$ מקבלים את הגורם $\tfrac{dy}{dx}$.
הבדלת $xy$ לפי $x$ נותנת...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כלל המכפלה: $\frac{d}{dx}[xy]=1\cdot y+x\cdot\tfrac{dy}{dx}$.
פקטור כלל השרשרת $\tfrac{dy}{dx}$ מופיע רק באיברים המכילים $y$. ב-$\frac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ אין פקטור, אך ב-$\frac{d}{dx}[y^3]=3y^2\tfrac{dy}{dx}$ כן. שכחתי להוסיף את ה-$\tfrac{dy}{dx}$ באיברי $y$ הוא הטעות האופיינית לגזירה סתומה. גם מכפלה כמו $xy$ דורשת את כלל המכפלה: $\frac{d}{dx}[xy]=y+x\tfrac{dy}{dx}$.
מצאו את $\tfrac{dy}{dx}$ עבור $x^2+y^2=25$ בנקודה $(3,4)$.
- גזרו: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$.
- פתרון: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}$.
- ב-$(3,4)$: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$ — השיפוע של המשיק במקום זה.
גזירה סתומה: גזרו את שני האגפים ביחס ל-$x$, ובטוחים ב-$y$ כפונקציה של $x$ כך שכל איבר המכיל $y$ יקבל כפולה של $\tfrac{dy}{dx}$ (כלל השרשרת); אספו, הוציאו גורם משותף ופתרו עבור $\tfrac{dy}{dx}$. הצביעו נקודה על העקומה כדי לקבל שיפוע. התשובה תלויה בדרך כלל בשני $x$ ו-$y$.