חוקק השרשרת
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה מורכבת |
| Chain Rule/tʃeɪn ruːl/ | כלל השרשרת |
| outer/ˈaʊtə/ | חיצוני |
| inner/ˈɪnə/ | פנימי |
פונקציות בתוך פונקציות
- מהו הנזיר של $(3x+1)^{5}$? זהו חזקה של פונקציה — פונקציה מורכבת.
- פתיחת הביטוי הזו תהיה קשה מאוד. קיים כלל שנבנה במיוחד עבור מצב זה: כלל השרשרת.
- פונקציה מורכבת היא "פונקציה חיצונית עטיפה פונקציה פנימית", כמו $f(g(x))$.
- כלל השרשרת גוזר את השכבות אחת לאחד ומכפיל את התוצאות.
הכלל
- עבור $y=f(g(x))$:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big]=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
- במילים: המشتقة של הפונקציה החיצונית (תוך שמירה על הפנימית כפי שהיא) כפול המשתנה המשתנה המשתנה
- ה-"$\cdot\, g'(x)$" הקטן הוא החלק שכולם שוכחים — זהו המוקד העיקרי של העניין.
עקומה מורכבת
y = ax² + bx + c
עקומה מורכבת כמו $(3x+1)^2$ תלולה יותר מהקו הפנימי שלה לבדו — חוקק השרשרת כופל את קצב הפנימי בתוך הביטוי.
חוקק השרשרת נותן $\dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המشتقة החיצונית בנקודה הפנימה, כפול המשתנה הפנימי.
זיהוי החיצוני והפנימי
- לפני הנגזרת, קראו את הפונקציות החיצונית והפנימית.
- ב-$(3x+1)^5$: החיצונית היא "(כלשהו)$^5$", הפנימית היא $3x+1$.
- נגזרת חיצונית: $5(3x+1)^4$. נגזרת פנימית: $3$.
- הכפילו: $\dfrac{d}{dx}[(3x+1)^5]=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4$.
עבור $y=(2x+1)^3$, מצא את $y'$ בנקודה $x=0$. (כלל השרשרת: $3(2x+1)^2\cdot2$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y'=6(2x+1)^2$; בנקודה $0$: $6(1)=6$.
עבור $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{1/2}$, סמן את כל הזיהויים הנכונים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השורש הוא החלק החיצוני; $x^2+1$ הוא הפנימי עם משתנה $2x$.
שרשרת עם הכללים האחרים
- כלל השרשרת מצטבר עם הכל: חזקה, מכפלה, מנה ונגזרות יסודיות.
- $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]=\cos(x^2)\cdot 2x$ — חיצונית $\sin$, פנימית $x^2$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
- עבור פונקציות מקושרות עמוקות, הסירו שכבה אחת בכל פעם, תוך כפל כל נגזרת פנימית בזמן מעבר.
מהו $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
החיצוני $\cos(x^2)$ כפול המשתנה הפנימי $2x$.
הגורם שנשכח לרוב בכלל השרשרת הוא המשתנה ____ $g'(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
צריך להכפיל ב-$g'(x)$ לאחר גזירת החלק החיצוני.
מהו $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
החיצוני $e^{3x}$ כפול המשתנה הפנימי $3$.
לעולם אל תשכחו לכפול ב-הנגזרת הפנימית $g'(x)$. $\frac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ היא $\cos(x^2)\cdot 2x$, לא רק $\cos(x^2)$. השמדת ה-"$\cdot\,g'(x)$" היא הטעות הנפוצה ביותר בקלקולוס — הנגזרת החיצונית לבדה היא רק חצי מהתשובה.
גזרו את $y=\sqrt{x^2+1}$.
- סדר מחדש: $y=(x^2+1)^{1/2}$. חיצונית: $(\ )^{1/2}$; פנימית: $x^2+1$.
- נגזרת חיצונית: $\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}$. נגזרת פנימית: $2x$.
- $y'=\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
כלל השרשרת מחשב נגזרת של פונקציה מורכבת: $\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — נגזרת של החיצונית (הפנימית ללא שינוי) כפול נגזרת הפנימית. זיהו את השכבות תחילה, ולא תורידו לעולם את גורם ה-$\cdot\,g'(x)$. הוא משתלב עם כל כלל אחר עבור ביטויים מקושרים.