קישור בין נגזרות ולרציפות: מתי נגזרות קיימות ומתי הן אינן קיימות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| differentiability/ˌdɪfəˌrenʃɪəˈbɪlɪti/ | ניתנות לנגזירה |
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | רציף |
| corner/ˈkɔːnə/ | פינה |
| cusp/kʌsp/ | נקודת עקומה |
| vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/ | משיק אנכי |
חלקות מעידה על רציפות — אך לא ההפך
- אם לפונקציה יש נגזרת בנקודה, הגרף שלה אינו רק רציף שם — אלא גם חלק.
- הפרשנות בנקודה היא תנאי חזק יותר מאשר רציפות.
- עובדה מרכזית: נגזרת $\Rightarrow$ רציפות. לא יכול להיות משיק במנוסה.
- אך ההפך אינו נכון: גרף רציף עדיין יכול להכיל נקודה חדה ללא נגזרת.
עקומה חלקה ונגזרת
y = ax² + bx
פרבולה זו חלקה בכל מקום — למשי קיים בכל נקודה, בניגוד לפינה שבה השיפוע מתחלף.
מדוע נגזרות מחייבת רציפות
- הנגזרת היא הגבול של שיפועי המיתרים; כדי שגבול זה יהיה סופי, הפונקציה לא יכולה לקפוץ.
- אם $f$ קפצה ב-$c$, שיפועי החוטכים בסמוך ל-$c$ היו מתפוצצים — אין שיפוע משיק סופי.
- לכן קיום $f'(c)$ מבטיח שה-$f$ רציפה ב-$c$.
- הטרונית (שימושי בבחנים): אם $f$ אינה רציפה ב-$c$, היא אינה נגזרת שם.
אילו השתמעות היא נכונה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נגזרות מחייבת רציפות; ההפך אינו נכון.
אם $f$ אינה רציפה ב-$c$, אזי $f$ ב-$c$ היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
התנסיב של "נגזרת $\Rightarrow$ רציפה": לא רציף $\Rightarrow$ לא נגזרת.
מקומות בהם הנגזרת אינה קיימת
- רציפות אינה מספיקה — שלושה צורות משברות את ההפרשנות גם ללא מנוסה:
- פינה: שיפועי השמאל והימין שונים (כמו $|x|$ ב-$0$).
- קוּס: השיפועים פוגעים ב-$+\infty$ ו-$-\infty$ (כמו $x^{2/3}$ ב-$0$).
- משיק אנכי: המשיק אנכי, ולכן השיפוע שלו אינו מוגדר (כמו $\sqrt[3]{x}$ ב-$0$).
באיזה תכונות הנגזרת אינה קיימת גם אם הפונקציה רציפה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
פינות, קוצ'ות ומשיים אנכיים מבטלים את הנגזרת; נקודת סיבוב חלקה עדיין יש לה $f'=0$.
נקודת מגע אנכית, הקו המשיק אנכי ולכן השיפוע (הנגזרת) אינו מוגדר.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לקו אנכי אין שיפוע מוגדר; לדוגמה $\sqrt[3]{x}$ ב-$0$.
הכל חוזר למשיק
- נגזרת קיימת רק כאשר קיים משיק אחד מוגדר היטב עם שיפוע סופי.
- לפינה יש שני משיקים שונים; לקוּס/משיק אנכי יש שיפוע אינסופי — ואף אחד מהם אינו נותן ערך סופי יחיד.
- $|x|$ רציפה בכל מקום אך אינה נגזרת ב-$0$ — הדוגמה הנגדית הקלאסית.
- לכן: בדוק תחילה רציפות (תנאי הכרחי), ולאחר מכן בדוק קיימות שיפוע מגע יחיד וסופי (השאר).
$f(x)=|x|$ רציפה ב-$0$ אך אינה נגזרת שם.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפינה נותנת שיפוע שמאלי $-1$, שיפוע ימני $+1$ — אין שיפוע משי אחד.
עבור $f(x)=|x|$, מהו השיפוע מימין (עבור $x>0$) ב-$0$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
עבור $x>0$, $f(x)=x$, ולכן השיפוע הוא $+1$ (השיפוע משמאל הוא $-1$, ולכן קיימת פינה).
אל תהפוך את ההשלכה. נגזרת $\Rightarrow$ ⇒ רציפה הוא נכון, אך רציפה $\Rightarrow$ ⇒ נגזרת הוא שגוי. $f(x)=|x|$ מוכיח זאת: רציפה לחלוטין ב-$0$, אולם הזווית פירושה ש-$f'(0)$ אינו קיים (שיפוע שמאלי $-1$, שיפוע ימני $+1$).
האם $f(x)=|x|$ נגזרת ב-$x=0$?
- רציפה ב-$0$? כן — אין חוסר. ✓
- שיפוע שמאלי: עבור $x<0$, $f(x)=-x$, השיפוע הוא $-1$. שיפוע ימני: עבור $x>0$, $f(x)=x$, השיפוע הוא $+1$.
- השיפועים חד-צדדיים אינם תואמים ($-1\neq1$) — מדובר ב-זווית.
- לכן $f'(0)$ אינו קיים, למרות ש-$f$ רציפה במקום זה.
נגזרותיות $\Rightarrow$ ⇒ רציפות (למגע נדרשת גרף ללא הפסקה), אך רציפות אינה מצביעה בהכרח על נגזרותיות. הנגזרת אינה קיימת ב-זווית (שיפועים אינם תואמים), ב-קוץ, או ב-מגע אנכי (שיפוע אינסופי) — בכל מקום שאין שם מגע יחיד וסופי.