חיבור בין גבולות אינסופיים לאסימפטוטות אנכיות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | גבול אינסופי |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה אנכית |
כאשר התוצאה זוחלת לאינסוף
- לעיתים כאשר $x\to c$ הפונקציה אינה יציבה בערך מסוים — היא גדלה ללא גבול.
- אנו כותבים $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ (או $-\infty$) כדי לתאר התנהגות זו של זליגה לאינסוף.
- זהו גבול אינסופי. שימו לב: "$=\infty$" הוא תיאור, ולא ערך אמיתי — הגבול טכנית לא קיים כמספר סופי.
- זה קורה כאשר המכנה מצטמצם לאפל בעוד שהמונה נשאר הרחק מאפס.
כתיבת $\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ משמעה שהגבול קיים כמספר סופי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זו רצועה לצמיחה אינסופית; כמספר סופי הגבול אינו קיים.
לקרוא כל צד בנפרד
- סמוך להתפוצצות, שני הצדדים לעיתים מתנהגים בצורה שונה, לכן השתמשו בגבולי אינסוף חד-צדדיים.
- עבור $f(x)=\dfrac1{x-2}$: כאשר $x\to2^-$ המכנה הוא שלילי זעיר, לכן $f\to-\infty$.
- כאשר $x\to2^+$ המכנה הוא חיובי זעיר, לכן $f\to+\infty$.
- הסימן של המכנה המתכווץ קובע לאיזה כיוון כל צד מזנק.
צפו כיצד הערך עולה לאורך האסימפטוטה
y = a / (x − b)
כשה-$x$ מתקרב ל-$b$, ההופכי הולך ומואל ל-$+\infty$ מאחד הצדדים ומ-$-\infty$ מהצד השני — הקו $x=b$ הוא אסימפטוטה אנכית.
עבור $f(x)=\dfrac1{x-2}$, מהי ערכה של $\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רק משמאל ל$2$, $x-2$ היא מספר שלילי קטן מאוד, ולכן $\frac{1}{\text{tiny}^-}\to-\infty$.
זיהוי האסימפטוטה האנכית
- אסימפטוטה אנכית היא הישר $x=c$ אותו הגרף נדבק כשהוא זוחל ל$\pm\infty$.
- עבור פונקציה רציונלית, בדוקי היכן המכנה הוא אפס אך המונה אינו.
- $\dfrac{x+1}{x-2}$: מכנה אפס ב$x=2$, מונה $=3\neq0$ שם → אסימפטוטה אנכית $x=2$.
- (אם שניהם מתאפסים, פקטור קודם — ייתכן שמדובר בחור נשלף במקום זאת.)
באיזו ערך של $x$ ל$f(x)=\dfrac{x+1}{x-4}$ יש אסימפטוטה אנכית?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מכנה אפס ב-$x=4$, מונה $=5\neq0$ → אסימפטוטה $x=4$.
עבור $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ בנקודה $x=3$, גם המונה וגם המכנה הם אפס. זהו...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שניהם אפס פירוט ביטול: $x+3\to6$. זהו חור נשלף, לא אסימפטוטה.
הקו $x=c$ שאותו גרף חובק כשהוא יורק ל$\pm\infty$ הוא ____ אנכי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זה מסמן קטיעה אינסופית.
גבול אינסופי ⇄ חוסר רציפות
- העובדה הגרפית ועובדת הגבול הן שני מבטים של אותו דבר.
- "$\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$" היא העקומה העולה על האסימפטוטה $x=2$ מימין.
- לכן גבול אינסופי ב-$c$ מבטיח חוסר רציפות אנכי ב-$x=c$, ולהפך.
- תיארו את שניהם: הגבולות האינסופיים חד-צדיים וגם את קו חוסר הרציפות.
פונקציה רציונלית יש אסימפטוטה אנכית בנקודה $x=c$ כאשר איזה מתקיים?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מכנה שווה לאפס, מונה אינו אפס → התפוררות. אם המונה גם שווה לאפס, ייתכן שזהו חור הילדון.
כתיבת $\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ לא פירושה שהגבול קיים כמספר — זו קיצור ל"גדל ללא גבול". וגם מכנה אפס לבדו אינו בהכרח אסימפטוטה: אם המונה גם הוא אפס שם, ביטל קודם — ייתכן שתמצא חור ניתן להסרה, ולא התפוצצות.
ניתוח $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ בסמוך ל-$x=2$.
- $x\to2^-$: מכנה מתאפס ב-$\to0^-$, ולכן $f\to-\infty$.
- $x\to2^+$: מכנה מתאפס ב-$\to0^+$, ולכן $f\to+\infty$.
- מונה $1\neq0$, ולכן $x=2$ היא אסימפטוטה אנכית.
- הגבול דו-צדי אינו קיים (הצדדים הולכים לכיוונים הפוכים).
גבול אינסופי $\lim_{x\to c}f(x)=\pm\infty$ מתאר פונקציה גדלה ללא גבול כאשר $x\to c$ — זהו קיצור, לא ערך סופי. קראו כל צד בנפרד (סימן המכנה הקטן קובע את הכיוון). היכן שמכנה של פונקציה רציונלית מתאפס אך המונה אינו, קיים חסר רציפות אנכי $x=c$.