הגדרת רציפות בנקודה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | רציף |
"צייר אותו מבלי להרים את העט"
- באופן אינטואיטיבי, פונקציה היא רציפה בנקודה $c$ אם לגרף שלה אין שם פסקה — אין חור, אין קפיצה ואין התפוצצות.
- אבל "ללא פסקה" דורש בדיקה מדויקת שניתן לבצע, ולא רק להעריך לעין.
- החשבון האינפיניטסימלי תקבע זאת על ידי שלושה תנאים, כולם הקשורים לנקודה $c$.
- אם עומדים בשלושת התנאים, העקומה זורמת בצורה חלקה דרך $\big(c, f(c)\big)$.
עקומה ללא שבירה
y = ax² + bx + c
פולינום זה עובר את שלושת תנאי הרציפות בכל נקודה — מוגדר, הגבול קיים והשניים תואמים.
שלושת התנאים
- (1) $f(c)$ מוגדר — הנקודה קיימת למעשה (אין חור).
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ קיים — שני הגבולות החד-צדדיים תואמים (אין קפיצה ואין התפוצצות).
- (3) הם שווים: $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ — העקומה מגיעה בדיוק לנקודה שבה הנקודה יושבת.
- כל שלושתם חייבים להתקיים. רציפות בנקודה $c$ היא בדיוק התנאים (1) + (2) + (3).
סמן את כל התנאים הנדרשים כדי ש-$f$ יהיה רציף בנקודה $c$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שלושת התנאים מוגדרים: קיום הגבול, והיותם שווים. דרישה לפולינום אינה נדרשת.
התנאי השלישי לרציפות אומר שהגבול חייב ____ את ערך הפונקציה $f(c)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.
שבירת כל אחד → פסקה
- כישלון ב**(1)**: הנקודה חסרה — חור גם אם הגבול קיים.
- כשל (2): הצדדים אינם מסכימים או שהפונקציה מתעצבת — קפיצה או שבירה אינסופית.
- כשל (3): שניהם קיימים אך הנקודה צפה מחוץ לעקומה — חור הניתן להסרה הממוקם במקום אחר.
- כל כשל תואם סוג אי-רציפות משיעור הקודם.
אם $f(c)=1$ ו$\lim_{x\to c}f(x)=4$, אז בנקודה $c$ הפונקציה היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שניהם קיימים אך אינם תואמים — התנאי 3 לא מתקיים, לכן $f$ אינה רציפה (חור הניתן להסרה).
בדיקה של נקודה ספציפית
- הצב ערך: האם $f(c)$ הוא מספר ממשי? (תנאי 1.)
- חשב את הגבול משני הצדדים: האם הם מסכימים על ערך $L$? (תנאי 2.)
- השווה: האם $L=f(c)$? (תנאי 3.)
- רק "כן, כן, כן" זוכים בתווית רציפה בנקודה $c$.
ידע זה בלבד ש$f(c)$ מוגדר מספיק כדי להסיק ש$f$ רציפה בנקודה $c$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אתה צריך גם שהגבול יקיים ויתאים ל-$f(c)$.
למקרה של $f(x)=x^2+1$, האם $f$ רציפה בנקודה $x=2$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שלושת התנאים מתקיימים, לכן $f$ רציפה בנקודה $2$ (פולינומים רציפים בכל מקום).
לרציפות של $f$ בנקודה $x=1$ אנו זקוקים ל-$\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$. אם $\lim_{x\to1}f(x)=7$, מה חייב להיות שווה ל-$f(1)$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
התנאי 3 מחייב את $f(1)=7$.
כל שלושת התנאים נדרשים — בדיקה רק כך ש$f(c)$ קיים, או רק כך שהגבול קיים, אינה מספיקה. לפונקציה יכול להיות $f(c)=1$ טוב מאוד וגם $\lim_{x\to c}f(x)=4$ טוב מאוד, אך עדין תהיה בלתי רציפה כי $1\neq4$ (תנאי 3 נכשל).
האם הפונקציה $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x\neq1\\[4pt]3,&x=1\end{cases}$ רציפה בנקודה $x=1$?
- (1) $f(1)=3$ — מוגדר. ✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — קיים. ✓
- (3) $2 \neq 3$ — אינו שווה. ✗
- התנאי (3) נכשל, ולכן הפונקציה $f$ היא לא רציפה בנקודה $1$ (חור הניתן להסרה עם הנקודה הממוקמת בגובה $3$).
הפונקציה $f$ היא רציפה בנקודה $c$ בדיוק כאשר שלושה דברים מתקיימים: הערך בנקודה זו $f(c)$ מוגדר, הגבול $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ קיים, ושניהם שווים. אם נכשל אחד מהם, תקבל אי-רציפות — התנאי שנכשל יגלה את סוג האי-רציפות.