מציאת גבולים באמצעות שינויים אלגבריים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | שווה ערך |
| factoring/ˈfæktərɪŋ/ | פירוק לגורמים |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | מלווה |
$\tfrac00$ היא דלת נעולה — האלגברה היא המפתח
- הצבה ישירה נתנה לך $\dfrac00$. אל תיכשלו — עצב מחדש את הפונקציה קודם.
- הטיפ: מצאו ביטוי מקביל שתואם את המקורי בכל מקום למעט בנקודה המציקה.
- מכיוון שגבול מתעלם מהנקודה היחידה $x=c$, לפונקציה המעוצבת מחדש יש אותו גבול.
- שלושה כלים עושים כמעט את כל העבודה: פירוק לגורמים, ריציונליזציה, ומיזוג שברים.
שינוי אלגברי מחליף את הפונקציה בפונקציה ____ ששווה לה בכל מקום למעט בנקודה שנמחקה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אותם ערכים מחוץ לחור משמעים אותו גבול.
כלי 1 — פירוק ולוחץ
- נוכחות $\tfrac00$ בפונקציה רציונלית אומרת ש$(x-c)$ מחלק גם את המונה וגם את המכנה.
- השתמשו בפירוק לגורמים בכל אחד, לוחצים את הגורם המשותף $(x-c)$, ואז מבצעים הצבה.
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$.
- הצורה הלוחצת זהה למקורית לכל $x\neq 3$ — בדיוק שם שבו הגבול נמצא.
העקומה חלקה בכל מקום למעט בנקודת החור
y = x + 3 (מהקיצור של (x−3))
לאחר פירוק והקיצור, הגרף הוא עקומה רגילה עם נקודה אחת חסרה — הגבול קוראים מהרווח הזה.
חשב את $\displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
פירוק: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4\to 8$.
כלי 2 — ריציונליזציה של השורש
- כאשר שורש ריבועי גורם ל$\tfrac00$, כפולו את המונה והמכנה במוצע המרוכב.
- צעד זה מסיר את השורש וחושף גורם הניתן ללוחץ.
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac14$.
את הגבול $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ מומלץ לפתור באמצעות...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שורש הגורם ל-$\tfrac00$ דורש מכפיל מיושר; כאן הגבול הוא $\tfrac16$.
חשב את $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
רציונליזציה ל-$\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to\frac{1}{4}$.
כלי 3 — מיזוג שברים
- הפרש של שברים כמו $\dfrac{1}{x+2}-\dfrac12$ מעל $x$ מסתיר גורם ברגע שמשתמשים במכנה משותף.
- מיזגו לשבר יחיד, קיצרו, וה$(x-c)$ יימחק.
- לאחר כל אחת מהפעולות האלו, סיימו עם הצבה ישירה — הדלת נפתחה עכשיו.
- לא משנה איזה כלי השתמשתם, אתם מייצרים פונקציה מקבילה שמאפשרת הצבה להצליח.
סמן את כל הכלים האלגבריים שיכולים לפתור גבול מסוג $\tfrac00$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השלושה הראשונים הם שינויי ערך חוקיים; עיגול אינו טכניקה תקפה.
ביטול $(x-c)$ משנה את הפונקציה בנקודה אחת בדיוק: הביטוי המנוסח מוגדר ב-$c$, בעוד שהמקורי יש בו חור. זה בסדר עבור הגבול (שהוא לעולם לא מסתכל על $x=c$), אך אל תטענו ששתי הפונקציות זהות — הן שונות בנקודה שנמחתה.
לאחר הקיצור $(x-3)$, הפונקציה המקוצרת זהה בדיוק לראשונית בכל נקודה, כולל $x=3$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הם תואמים בכל מקום למעט $x=3$, שבו לביטוי המקורי יש חור. הגבול אינו מושפע מכך, אך הפונקציות שונות בנקודה זו.
מצא את $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}$.
- ההצבה נותנת $\tfrac00$ — פרקו את שני החלקים.
- $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{x-1}{x+2}$ עבור $x\neq -1$.
- ביצעו הצבה: $\dfrac{-1-1}{-1+2}=\dfrac{-2}{1}=-2$.
כאשר הצבה מניבה $\tfrac00$, יש לכתוב מחדש את הפונקציה בצורה שווה ערך תואמת בכל מקום למעט ב-$c$: גורמי משותף וביטול, ריציונליזציה באמצעות המלווה, או איחוד שברים. לאחר מכן לבצע הצבה. השינוי שיש לו אותו גבול, מכיוון שגבול מתעלם מהנקודה הבודדת שהוסרה.