הערכת ערכי גבול מטבלאות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| estimate/ˈestɪmət/ | הערכה |
| trend/trɛnd/ | מגמה |
| two-sided limit/tuː ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | גבול דו-צדדי |
התקרבו לגבול עם טבלה
- אין גרף? אין נוסחה להצבה? עדיין ניתן להעריך גבול על ידי יצירת טבלה של פלטות.
- בחר קלטות שמסתננות לעבר $c$ משני הצדדים ועקוב אחרי הפלטות.
- עבור $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$, הצבת $x=2$ נותנת $\tfrac00$ — לכן בנה טבלה במקום זאת.
- הפלטות יחשפו את הערך אליו הפונקציה שואפת.
התקרבות משני הצדדים
- בחר קלטות קרובות יותר ל$c$: משמאל $1.9, 1.99, 1.999$; מימין $2.1, 2.01, 2.001$.
- חשב את ערכי הפונקציה בכל נקודה והסדר את התוצאות בשורות.
| $x$ | $1.9$ | $1.99$ | $1.999$ | $\to 2 \leftarrow$ | $2.001$ | $2.01$ | $2.1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $3.9$ | $3.99$ | $3.999$ | ? | $4.001$ | $4.01$ | $4.1$ |
- שני העמודים מתכווצים אל $4$, ולכן $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=4$.
ראו את העקומה מאחורי הטבלה
y = ax² + bx + c
טבלה היא פשוט נקודות דגימה על עקומה – גררו את המקדמים ודמיינו את התפוקות מתקרבות לגובה אחד.
טבלה נותנת $f(2.9)=6.9$, $f(2.99)=6.99$, $f(3.01)=7.01$, $f(3.1)=7.1$. העריך $\lim_{x\to 3} f(x)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שני הצדדים מתקרבים ל$7$, ולכן הגבול הוא $7$.
כדי להעריך $\lim_{x\to 4} f(x)$ מטבלה, הקלט们 הטובים ביותר להשתמש בהם הם...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הקלט们 צריכים להתקרב ל$4$ משני הצדדים – ולהימנע ממ$x=4$ עצמו.
שני הצדדים חייבים להתקרב יחד
- קרא את המגמה משמאל ואת המגמה מימין בנפרד.
- אם שני הצדדים שואפים לאותו מספר, המספר המשותף הוא הערכה שלך לגבול דו-צדדי.
- אם העמודה השמאלית שואפת לערך אחד והימנית לערך אחר, הגבול אינו קיים.
- הטבלה מראה קפיצה ברורה: המספרים סורבים להתכנס באמצע.
אם עמוד השמאל בטבלה נוטה ל$2$ ועמוד הימין נוטה ל$5$, הגבול דו-צדדי אינו ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מגמות חד-צדיות שונות מעידות על כך שאין גבול דו-צדי קיים.
טבלה רק מעלה חשד — היא אינה יכולה להוכיח
- טבלה מציגה מגמה, אך לא הבטחה. הפונקציה עשויה לבצע פעולה מפתיעה גם כשהיא קרובה יותר ל$c$.
- פונקציות מסוימות (כמו $\sin\frac1x$) מטעות טבלה גסה: לבחור כניסות עגולות ויפות והתבונה נראית שקטה בעוד ההתנהגות האמיתית מתנודדת בחוזקה.
- לכן הערכה מספרית היא סימן חזק, שאושר לאחר מכן על ידי אלגברה או גרף — לעולם לא הוכחה בעצמה.
- תמיד בחר קלטות שקרובות באמת ל$c$, ולא רק נוחות למראה.
טבלה מסודרת של ערכים מוכיחה בדיוק מהו שוויון הגבול.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
טבלה רק מצביעה על ערך – היא יכולה להיות מוטעת על ידי תנודות. הוכחה דורשת אלגברה או משפט.
בחרו את כל שיטות העבודה הטובות בעת הערכת גבול מתוך טבלה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
התקרבו משני הצדדים ושמרו על סקפטיקה. ההצבה ב$x=c$ פוגעת במטרה — הגבול עוסק בתהליך ההתקרבות.
טבלה עבור $\dfrac{\sin x}{x}$ קרוב ל$x=0$ מניבה $0.998, 0.99998, 0.9999998, \dots$. הגבול הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפלט הקרוב ל$1$, ולכן הגבול הוא $1$ — גם אם $f(0)$ הוא הביטוי הלא-דetermined $\tfrac00$.
טבלה יכולה להשתקר אם הכניסות שלך מפוזרות מדי או נופלות בדפוס מוטה. $f(x)=\sin\frac{\pi}{x}$ ב$x=1,\tfrac12,\tfrac13,\dots$ קורא $0,0,0,\dots$ — מה שמרמז על גבול של $0$ ב$x=0$, בעוד שבאמת הפונקציה מתנודדת והגבול אינו קיים. בחר כניסות שעוברות באמת לכיוון המטרה, ות Remaining סקפטי.
הערכה של $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}$ (עם $x$ ברדיאנים).
- $x=0.1 \Rightarrow 0.99833$; $\;x=0.01 \Rightarrow 0.99998$; $\;x=0.001 \Rightarrow 0.9999998$.
- אותו דבר מהצד השלילי לפי סימטריה.
- הפלטות מתקרבות ל$1$, ולכן x/$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ — גבול מפורסם שתפגוש שוב.
להעריך גבול מתוך טבלה, מצאו את ערך הפונקציה בקלטות הנעמות לכיוון $c$ מ-שתי הצדדים וקראו את המגמה המשותפת. מגמות תואמות → הערך הזה הוא הגבול; מגמות נפרדות → DNE. טבלה רק מציעה ערך; היא יכולה להוטע, ולכן יש לראות בה כעדפות חזקות, לא כהוכחה.