אנרגיה בתנועה הרמונית פשוטה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | איזון |
| damping/ˈdæmpɪŋ/ | ריסון |
אלן באיפה האנרגיה בשלב העליון של הנדנדה
- בנקודה הגבוהה ביותר של הנדנדה, לרגע נתון אתה עומד לחלוטין במקום. האנרגיה הקינטית שלך היא בדיוq אפס.
- רגע לאחר מכן אתה זז מהר יותר מאשר בכל נקודה אחרת בקשת. אף אחד לא דחף אותך; האנרגיה מעולם לא נעלמה.
- היא הייתה במאגר הפוטנציאל, ויצאה ישר החוצה. תנודה היא החלפה זו, שנשנית ככל שחיכוך מאפשר.
- שיעור זה עוסק באנרגיה של מתנד: איך היא מחולפת, מדוע הסך הכל קבוע, ומדוע הסך הכל תלוי ב-ריבוע של המשרעת.
ההחלפה
- בעמדת האיזון המהירות היא הגדולה ביותר, ולכן האנרגיה הקינטית מקסימלית והאנרגיה הפוטנציאלית היא במינימום.
- בקצוות המתנד עצור לרגע, ולכן האנרגיה הקינטית היא אפס והאנרגיה הפוטנציאלית היא מקסימלית.
- בין שניהם, השניים משתנים ברציפות. ההחלפה מתרחשת פעמיים בתנודה מלאה, מכיוון שהמתנד עובר דרך המרכז פעמיים.
שתי עקומים בשלב הפוך, וקו שטוח מעליהם
האנרגיה הקינטית של תנודן היא הגדולה ביותר:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המהירות היא הגדולה ביותר באמצע, ולכן האנרגיה הקינטית משיגה את שיאה שם בעוד שהאנרגיה הפוטנציאלית נמצאת במינימום.
בקצוות התנועה, כל האנרגיה היא אנרגיה פוטנציאלית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
התנודן עומד רגעית על מקומו שם, לכן KE = 0 וכל האנרגיה היא פוטנציאלית.
הסכום הוא קבוע
- ללא ריסון, כלומר ללא כוח התנגדות המוריד אנרגיה, ה-אנרגיה הכוללת נשארת קבועה. זהו חוק שימור האנרגיה המיושם על המתנד.
- המקום הקל ביותר לחשב אותו הוא במרכז, שבו כל האנרגיה היא קינטית והמהירות היא $\omega x_0$:
- בגרף נגד ההזזה, האנרגיה הקינטית היא פרבולה הפוכה, האנרגיה הפוטנציאלית היא פרבולה ישרה, והסכום שלהם הוא קו אופקי.
הפרבולות החלקות מתחברות לקבוע בכל הזזה
אנרגיה ב-NHR (תנועה הרמונית פשוטה)
KE + PE = קבוע
האנרגיה מתחלפת בין קינטית (גבוהה ביותר במרכז) לבין פוטנציאלית (מקסימלית בקצוות).
ללא ריצוי, האנרג הכוללת של תנודן נשארת קבועה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
האנרגיה רק מתחלפת בין אנרגיה קינטית לפוטנציאלית; הסכום שלהם שמר על עצמו.
אנרגיה ומשרעת תנודה
- מכיוון ש-$E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$, האנרגיה הכוללת פרופורציונלית ל-ריבוע המשרעת.
- כפול את המשרעת והאנרגיה ארבע פעמים גדולה יותר. כפול בשלוש והאנרגיה תשע פעמים גדולה יותר.
- זוהי הקשר שהמבחן בודק בתדירות הגבוהה ביותר, והתשובה "פי שניים" עבור משרעת כפולה היא השגיאה הנפוצה ביותר בנושא זה.
אם המשרעת כופלה פי שניים, האנרגיה הכוללת של תנודן הופכת להיות:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$E \propto x_0^{2}$, כך שכפיית $x_0$ גורמת ל-$2^{2} = 4$ פעמים האנרגיה.
המשרעת של תנודן ללא ריצוי כופלה פי שניים. מה קורה לאנרגיה הכוללת שלו?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
E פרופורציונלית לריבוע המשרעת, מתוך E = m omega^2 x0^2 / 2. מענה "כפול" הוא השגיאה הנפוצה ביותר בנושא זה.
דוגמה מפורטת: מציאת האנרגיה הכוללת
- מתנד בעל מסת $0.20\ \text{kg}$, תדר זוויתי $10\ \text{rad/s}$ ומשרעת $0.050\ \text{m}$. מצאו את האנרגיה הכוללת שלו ואת האנרגיה הקינטית שלו בהזזה של $0.030\ \text{m}$.
- סכום: $E = \tfrac12 m \omega^2 x_0^2 = \tfrac12 \times 0.20 \times 10^2 \times 0.050^2 = 0.025\ \text{J}$.
- ב-$x = 0.030\ \text{m}$: $v = \omega\sqrt{x_0^2 - x^2} = 10\sqrt{0.050^2 - 0.030^2} = 0.40\ \text{m/s}$, ולכן $E_{\text{k}} = \tfrac12 \times 0.20 \times 0.40^2 = 0.016\ \text{J}$.
- האנרגיה הפוטנציאלית שם היא ההפרש, $0.025 - 0.016 = 0.009\ \text{J}$. השימוש באנרגיה הכוללת הקבועה כדי למצוא את האנרגיה השנייה מהיר ובטוח יותר מאשר שינוי נוסף בנוסחה.
לאוסצילטור יש $m = 0.20\ \text{kg}$, $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ ומשרעת $0.10\ \text{m}$. מהי האנרגיה הכוללת שלו?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_0^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.20 \times 10^{2} \times 0.10^{2} = 0.10\ \text{J}$.
לאוסצילטור בעל מסה 0.20 ק"ג יש ω = 10 רד/שנייה ומשרעת 0.050 מטר. מהי האנרגיה הכוללת שלו, בג'אול?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
E = m ω^2 x0^2 / 2 = 0.20 × 100 × 0.0025 / 2 = 0.025 J. הערכה במרכז, שם כל האנרגיה היא קינטית, היא הדרך המהירה ביותר.
אם האנרגיה הכוללת היא 0.025 J והאנרגיה הקינטית בהזזה כלשהי היא 0.016 J, האנרגיה הפוטנציאלית שם היא ____ J.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הסכום הוא קבוע, ולכן האנרגיה הפוטנציאלית פשוטה מחיסור האנרגיה הקינטית מהכוללת. חיסור זה מהיר ובטוח יותר מאשר נוסחה נפרדת.
דוגמה מפורטת: קריאת גרפי האנרגיה
- שרטטו כיצד משתנים האנרגיה הקינטית, האנרגיה הפוטנציאלית והאנרגיה הכוללת של מתנד ללא ריסון בהתאם להזזה.
- אנרגיה קינטית: מקסימום ב-$x = 0$, יורדת לאפילו ב-$x = \pm x_0$, פרבולה הפוכה.
- אנרגיה פוטנציאלית: אפס ב-$x = 0$, עולה למקסימום ב-$x = \pm x_0$, פרבולה הפוכה ושיקוף של הראשונה.
- סה"כ: קו אופקי בערך המקסימום, שכן שני הגרפים תמיד מתחברים לאותו סכום.
- נגד זמן במקום ההעתקה, שני הגרפים נותרים בצורת פרבולה באנרגיה אך כעת מתנודדים בתדר כפול בהשוואה להעתקה, מכיוון שאנרגיה מגיעה לשיא פעמיים בכל מחזור.
התאם את אנרגיותיו של אוסצילטור בלתי מעוכך לגרפים מול ההזזה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שתי הפרבולות הן תמונות מראה זו של זו, ולכן הסכומן שווה באותו ערך בכל הזזה. הקו האופקי הזה הוא שימור האנרגיה המוצג גרפית.
כאשר מתוארת לאורך זמן, האנרגיה הקינטית של אוסצילטור חוזרת על עצמה בתדר כפול מהתדר של ההזזה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
האוסצילטור עובר דרך המרכז פעמיים בכל מחזור, ולכן השיאים באנרגיה הקינטית הם פעמיים במחזור בעוד שהשיאים בהזזה הם פעם אחת.
אנרגיה נגד זמן מתנודדת בתדר כפול
- צייר את ההעתקה נגד הזמן ותקבל מחזור אחד לתקופה. צייר את אנרגיית הקיnetic נגד הזמן ותקבל שניים.
- הסיבה היא הריבוע. אנרגיית הקinetic תלויה ב-$v^2$, והערכה $v$ עוברת דרך מקסימום הגודל שלה פעמיים בכל מחזור, פעם בדרך כלפי אחד ופעם בדרך הפוכה.
- לכן שני גרפי האנרגיה מושלמים שני שיאים בכל תנודה, וה-תדר שלהם הוא כפול זה של ההעתקה.
- שני הגרפים הם שיקולים מדויקים זה של זה ביחס לקו חצאי הסכום, וה-סכום שלהם הוא קו אופקי בערך האנרגיה הכוללת.
- שאלת טיוטה כאן מומלצת על שלושה דברים: התדר הכפול, שני הגרפים אינם תואמים זה עם זה בחצי תקופתם, והסה"כ השטוח.
האנרגיה הקינטית של אוסצילטור משתנה בתדר כפול מהתדר של ההזזה שלו.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
KE תלויה ב-v בריבוע, והמהירות מגיעה למקסימום פעמיים במחזור, פעם בכיוון אחד ופעם בכיוון השני. האנרגיה הפוטנציאלית עושה בדיוק אותו דבר, ושתי האנרגיות סוכמות לקו אופקי.
סימונים נופלים מהיד
- האנרגיה פרופורציונלית ל-מרחב המשתנה ריבוע. הכפלת המרחב המשתנה נותנת ארבע פעמים את האנרגיה, ולא פעמיים.
- אנרגיית הקinetic מקסימלית במרכז, פוטנציאלית בקצוות. אל תחליף אותם.
- נגד זמן, גרפי האנרגיה חוזרים על עצמם בתדר כפול זה של ההעתקה, מכיוון שישנם שני שיאי אנרגיה בכל תנודה.
- הסה"כ קבוע רק כאשר אין הפרעה. אמור זאת כאשר השאלה מזכירה כוחות התנגדות.
הבנתך מושלמת
- אנרגיית הקinetic מקסימלית במרכז ואפס בקצוות; אנרגיה פוטנציאלית עושה את ההפך, והם מתחלפים פעמיים בכל מחזור
- ללא הפרעה ה-סה"כ הוא קבוע: $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$, הקל ביותר לחישוב במרכז שבו כולה אנרגיית קinetic
- נגד ההעתקה האנרגיות הן שתי פרבולות הפוכות שהסכום שלהן הוא קו אופקי
- $E \propto x_0^2$: הכפלת המרחב המשתנה, ארבע פעמים האנרגיה