תנועה הרמונית פשוטה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/ | תנועה הרמונית פשוטה |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | הזזה |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | איזון |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | משרעת |
| period/ˈpɪərɪəd/ | זמן מחזור |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | תדר |
| angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/ | תדירות זוויתית |
הנורה שלמדה לעולם לשמור על זמן
- בשנת 1583, סטודנט בקתדרלת פיסה, משעמם במהלך תערוכה, מדד את זמן נדנודו של מנורה בהשוואה לקצב הלב שלו. בין אם המנורה נדדה רחוק או צמוד, כל נדודה ארכה אותו זמן.
- הדבר אינו מובן מאליו ואינו נכון לרוב התנועות. הוא נכון כאשר כוח השחזור גדל ב-פרופורציה לכמה שהגוף הסטה ממקומו, והתנאי היחיד הזה מגדיר את כל הנושא.
- ההשקה של גלילאו הפכה לשעון מתלה, ולכל שעון במשך 300 השנים הבאות.
- שיעור זה עוסק בתנועה סינוסואידלית: המשוואה המגדירה אותה, המילים המתארות אותה, וכיצ לקרוא $\omega$ ממגרף.
ההגדרה
- גוף נע בתנועה סינוסואידלית כאשר האוצר שלו פרופורציונלי להסתירה מנקודה קבועה, ומכוון תמיד לכיוון נקודה זו.
- שני החלקים נדרשים כדי לקבל את שתי הנקודות. "פרופורציונלי להסתירה" לבדו מתאר גם כוח דוחף אותו רחוק יותר.
- בסמלים, כאשר הסימן המינוס מעביר את המשמעות "לכיוון מיקום האיזון":
הסתיר ימינה, מאיץ שמאלה; הסתיר שמאלה, מאיץ ימינה
בתנועה רמונית פשוטה, ההתאוצה היא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זה בדיוק $a = -\omega^{2}x$ — הזזה גדולה יותר מושכת יותר בחזרה; תמיד כלפי המרכז.
הגדרה מלאה לתנועה הרמונית פשוטה דורשת אילו הצהרות? בחר את כל הנכונות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שתי הניסוחים הללו הם ההגדרה ומעניקים את שתי הנקודות. התקופה הקבועה היא תוצאה שלם, והמהירות אינה בהחלט קבועה.
המילון
- הסתירה $x$: המרחק ממיקום האיזון, עם כיוון. משרעת $x_0$: ההסתירה המקסימלית.
- תקופה $T$: הזמן לנדודה מלאה אחת. תדר $f = 1/T$: נדודים בשנייה, בהרץ.
- תדר זוויתי $\omega$: מקשר בין שניהם, $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$. נתונה אחת מכל $\omega$, $f$ ו-$T$ מאפשרת לחשב את שאר הערכים, והרוב מהשאלות מתחילות בדיוק כך.
נער נדנדה
הפעל אותה לנדנדה, ולאחר מכן שנה את זווית ההתחלה — הזמן לנדנדה אחת נשאר זהה (זה מה שהופך אותה לשעון טוב). כעת הארך את החוט, או מעבר לירח, וצפה בשינוי התקופה.
תנודה יש לה תקופה $2.0\ \text{s}$. מהו התדר הזוויתי $\omega$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
הסתירה בזמן
- מתחילת מיקום האיזון ב-$t = 0$: $x = x_0 \sin(\omega t)$. מתחילת קצה: $x = x_0 \cos(\omega t)$.
- מה שתשתמש בו תלויה רק במקום שבו התנועה מתחילה. קרא את תנאת הפתיחה בשאלה לפני הבחירה.
- הגרף הוא עקומת סינוס בעלת משרעת $x_0$ ותקופה $T$, והתנועה חוזרת על עצמה בדיוק.
תקופה אחת, מחזור מלא, ואז שוב אותו דבר
מהירות בכל נקודה בתנועה
- המהירות במיקום $x$, ללא צורך בזמן:
- במרכז, $x = 0$, זה נותן את המהירות המקסימלית $v_{\text{max}} = \omega x_0$. בקצוות, $x = \pm x_0$, זה נותן אפס.
- זוהי התבנית לשמור עליה: הכי מהיר באמצע, עצור רגעית בכל קצה, והתאוצה היא בדיוק הפוך: אפס באמצע וגדולה ביותר בקצוות.
בתנועה פשוטה הרמונית (SHM) המהירות הגדולה ביותר נמצאת במיקום ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
באמצע כל האנרגיה היא אנרגיה קינטית, לכן המהירות מקסימלית ($v = \omega x_0$).
בקצוות התנועה ($x = \pm x_0$), המהירות אפס.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המתנד עוצר רגע בכל צד לפני שהוא משנה כיוון — מהירות אפס, תאוצה מקסימלית.
למתנד יש משרעת $0.10\ \text{m}$ ו-$\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. מהי המהירות המקסימלית שלו?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מהירות מקסימלית $= \omega x_0 = 10 \times 0.10 = 1.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
התאם כל גודל למיקום בתנודה בו הוא הגדול ביותר.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מהירות ותאוצה מגיעות לשיא במקומות הפוכים, ואף פעם הן לא מקסימליות בשניהן בו-זמנית.
דוגמה מפורטת: מתקופה למהירות מקסימלית
- מסה רועדת בתקופה של $2.0\ \text{s}$ ובאמפליטודה של $0.10\ \text{m}$. מצאו את המהירות המקסימלית ואת התאוצה המקסימלית שלה.
- תחילה $\omega$: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = 3.14\ \text{rad/s}$. כמעט כל שאלת תנודות פשוטות מתחילה כאן.
- מהירות מקסימלית, במרכז: $v_{\text{max}} = \omega x_0 = 3.14 \times 0.10 = 0.31\ \text{m/s}$.
- תאוצה מקסימלית, בקצוות: $a_{\text{max}} = \omega^2 x_0 = 3.14^2 \times 0.10 = 0.99\ \text{m/s}^2$.
- שימו לב היכן כל מקסימום מתרחש. שאלה ששואלת "באיזה זיזוז" תרצה את המרכז עבור המהירות ואת הקצוות עבור התאוצה.
לתנודה יש תקופה 2.0 שניות ומשרעת 0.10 מטר. מהי המהירות המקסימלית שלו במטר לשנייה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
omega = 2 pi / T = 3.14 רד/שנייה, ו-v_max = omega x0 = 0.31 מטר/שנייה, דבר הקורה במרכז. התאוצה המקסימלית, בקצוות, היא omega בריבוע כפול x0 = 0.99 מטר/שנייה^2.
קריאת גרף התאוצה-זיזוז
- מכיוון ש-$a = -\omega^2 x$, גרף של תאוצה כנגד התזמויות הוא קו ישר העובר דרך הראשית עם שיפוע שלילי.
- השיפוע הוא $-\omega^2$, ולכן $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$ ולאחר מכן $T = 2\pi/\omega$.
- זוהי הדרך הסטנדרטלית שבה מבחנים מספקים לך את $\omega$ ללא הצהרה ישירה. קו ישר העובר בראשית עם שיפוע שלילי הוא גם הדרך הסטנדרטלית לשאול ממך להוכיח שתנועה היא תנודות פשוטות.
ישר, עובר בראשית, שלילי: כל שלושה גורמים חשובים
בגרף תאוצה מול היזזה לתנועה פשוטה רמונית, השיפוע שווה ל:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$a = -\omega^{2}x$ הוא קו ישר בעל שיפוע $-\omega^{2}$, ולכן $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$.
דוגמה מפורטת: האם זו תנודות פשוטות?
- מדידות של תאוצה עגלה במרחקים שונים נותנות קו ישר העובר דרך המקור עם שיפוע $-25\ \text{/s}^2$. הוכח שהתנועה היא תנודתית פשוטה ומצא את התקופה.
- הגרף הוא קו ישר, ולכן $a \propto x$; הוא עובר דרך המקור, ולכן אין איבר חסר; והשיפוע שלו שלילי, ולכן התאוצה מכוונת לעמדת האיזון. שלושת העובדות האלו מהוות את ההגדרה, ולכן התנועה היא תנודתית פשוטה.
- השיפוע הוא $-\omega^2 = -25$, ולכן $\omega = 5.0\ \text{rad/s}$ ו$T = \dfrac{2\pi}{5.0} = 1.3\ \text{s}$.
גרף תאוצה-הזזה למתנד הוא קו ישר העובר באוריסט עם שיפוע -25 לכל שנייה בריבוע. מהי התקופה בשניות?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השיפוע הוא מינוס omega בריבוע, ולכן omega = 5.0 רדיאן לשנייה ו-T = 2 pi / 5.0 = 1.3 שניות. היות שהוא קו ישר, עובר באוריסט ושלילי היא גם הוכחה שהתנועה היא פשוטה רמונית.
סימונים נופלים מהיד
- ההגדרה דורשת שתי החלקים: פרופורציונליות למרחק וגם כיוון לעמודה קבועה. הסימן המינוס הוא מה שמייצג את השני.
- $\omega$ נמצא ב-rad s$^{-1}$, לא בהרץ. יש להמיר עם $\omega = 2\pi f$ לפני ההצבה.
- המהירות מקסימלית במרכז; התאוצה מקסימלית בקצוות. הם לעולם לא מקסימליים בו-זמנית.
- בחר סינוס או קוסינוס לפי היכן התנועה מתחילה, ולא על פי הרגל.
הבנתך מושלמת
- תנודתית פשוטה: תאוצה פרופורציונלית למרחק ומכוונת לעומת עמודה קבועה, ולכן $a = -\omega^2 x$
- $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$, וכמעט בכל שאלה מתחילים במציאת $\omega$
- $x = x_0\sin\omega t$ מהמרכז או $x_0\cos\omega t$ מקצה; $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$, ולכן $v_{\text{max}} = \omega x_0$ במרכז ו$a_{\text{max}} = \omega^2 x_0$ בקצוות
- גרף תאוצה-מרחק שהוא ישר, עובר דרך המקור ושלילי מוכיח תנודתית פשוטה, ושיפועו הוא $-\omega^2$