תורת התנועה הקינטית של גזים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| kinetic theory/kɪˈnetɪk ˈθɪəri/ | תיאוריה קינטית |
| random motion/ˈrændəm ˈməʊʃn/ | תנועה אקראית |
| elastic/ɪˈlæstɪk/ | אלסטי |
| momentum/məʊˈmentəm/ | תנע |
| mean-square speed/miːn skweə spiːd/ | מהירות ריבועית ממוצעת |
| root-mean-square/ruːt miːn skweə/ | שורש-ממוצע-ריבועי |
| average translational kinetic energy/ˈævrɪdʒ trænˈsleɪʃənl kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | אנרגיה קינטית תנועתית ממוצעת |
לחץ הוא רעש תופים, לא דחיפה
- לונגית מרגישה כאילו היא נדחפת באופן רציף החוצה. אין מי שמדחף אותה באופן רציף. המולקולות פוגעות בגומי באופן אקראי, כל פגיעה נמשכת חלק משנייה של ננושניה.
- ישנם כל כך הרבה פגיעות, כל כך קרובות זו לזו, שהממוצע שלהן חלק לחלוטין. לחץ הוא רעש התופים הנשמע ממרחק מספיק גדול שבו הפעמות הבודדות מתמחות.
- לקחת תמונה זו ברצינות ולהחיל עליה רק את חוקי ניוטון, מובילה לגזירות הגז מבסיס ומחשיפה מהו למעשה הטמפרטורה.
- שיעור זה עוסק בהנחות התאוריה הקינטית, נגזרת הלחץ, מהירות השורש הממוצע (r.m.s.) ומשמעות הטמפרטורה.
ההנחות
- מספר גדול של מולקולות זהות הנמצאות בתנועה אקראית רציפה.
- נפח המולקולות עצמן הוא זניח ביחס לנפח הגז.
- אין כוחות בין המולקולות מלבד במהלך התנגשויות, ולכן הן נעות בקווים ישרים ביניהן.
- ההתנגשויות הן אלסטיות לחלוטין, ללא אובדן אנרגיה קינטית, וזמן ההתנגשות זניח ביחס לזמן בין ההתנגשויות. חוקי ניוטון חלים בכל האורך.
- הנחות אלו נכשלות בלחץ גבוה מאוד, שבו נפח המולקולות חשוב, ובטמפרטורה נמוכה מאוד, שבה כוחות בין-מולקולריים חשובים.
סמן את כל ההנחות בתורת התנועה הקינטית של גז אידיאלי.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
כוחות בין מולקולות מתעלמים אלא במהלך (התנגשות) אלסטית — אין להן משיכה חזקה בכל עת.
נגזרת הלחץ
- לקחת קובייה בעלת צלע $L$ המכילה $N$ מולקולות במסה $m$, ולעקוב אחרי אחת הנעה לאורך $x$ עם מהירות $u_1$.
- התנגדות אחת עם הקיר הימני הופכת את מהירותו, ולכן ה-תנע שלו משתנה ב-$-2mu_1$, ובזכות חוק השלישי של ניוטון, הקיר מקבל $+2mu_1$.
- בין פגיעות בקיר זה הוא עובר $2L$, ולכן $\Delta t = 2L/u_1$, מה שמוביל לכוח ממוצע $F_1 = \Delta p/\Delta t = mu_1^2/L$.
- סכום על כל המולקולות וחלוקה בשטח הקיר $L^2$ נותן $p = Nm\langle u_x^2\rangle / V$. במרחב תלת-ממדי, סימטריה אומרת כי $\langle u_x^2\rangle = \tfrac13\langle c^2\rangle$, לכן:
מולקולה אחת, קיר אחד, ואז כפל כללי
חוק בואיל
p ∝ 1/V
בטמפרטורה קבועה, הלחץ פרופורציוני הפוך לנפח — לחיצת הגז גורמת לעליית הלחץ.
גז מפעיל לחץ על מיכלו כי המולקולות:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כל התנגשות דוחפת על הקיר; ההשפעה המצטברת של אינספור התנגשויות היא הלחץ.
דוגמה מפורטת: הסבר הלחץ במילים
- הסבר איך תנועת המולקולות גורמת ללחץ שהגז מפעיל. [3]
- המולקולות נעות באופן אקראי ונפגשות עם קירות המכל.
- בכל פגיעה מולקולה קופצת לאחור, ולכן התנע שלה משתנה; לפי החוק השני של ניוטון הקיר מפעיל כוח עליה, ובשל החוק השלישי היא מפעילה כוח שווה והפוך על הקיר.
- ישנם מספר רב מאוד של פגיעות בכל שנייה, ולכן האימפולסים הבודדים מתמזגים לכוח כולל יציב, והלחץ הוא הכוח הזה חלקי השטח.
- שלושה משפטים, שלושה נקודות. המשפט האמצעי חייב לציין את שני חוקי ניוטון כדי להשיג את הנקודה שלו.
סדרו בהגיון את הסבר ב-3 נקודות על לחץ גז.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
תנועה אקראית, שינוי תנע שמשלב את שני חוקי ניוטון, הממוצע על מספר רב של התנגשויות, ואז כוח ליחידת שטח.
הצורה בצפיפות
- $Nm$ היא המסה הכוללת של הגז, ולכן $Nm/V$ היא צפיפותו $\rho$. אותה תוצאה ניתן לכתוב כך:
- השתמש בגרסה זו כאשר שאלה נותנת צפיפות במקום $N$ ו$m$, מה שהיא לעיתים קרובות עושה.
מהירות שורש-ממוצע-ריבועית
- $\langle c^2 \rangle$ היא ממוצע הריבוע של המהירות: מריבעים את מהירות כל מולקולה ולאחר מכן מחשבים את הממוצע. השורש שלה הוא מהירות שורש-ממוצע-ריבועית (r.m.s.):
- מדד שימושי יחיד לתנודת המולקולות, מעט גדול יותר מממוצע המהירות מכיוון שהריבוע מגדיל את המשקל של המולקולות המהירות.
- המולקולות אינן נעות כולן במהירות זו. להן פיזור רחב, והעלאת הטמפרטורה מזיזה את כל הפיזור למהירויות גבוהות יותר.
התפלגות, שבה מהירות ה-r.m.s. היא אחת מסכומי הנתונים
מהירות ה-r.m.s. היא השורש הריבועי של המהירות ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לקחת את הממוצע של מהירויות רבועות, ולאחר מכן לשורש אותן: $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^{2}\rangle}$.
כיצה מחושבת מהירות ה-rms מתוך ערכי מהירות של מולקלות?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
להריבוע, לקחת ממוצע, ולשורש, בסדר זה. ההריבוע מוקדש בתחילה למולקעות מהירות יותר, וזהו הסיבה לכך שה-c_rms גדול מעט מהמהירות הממוצעת.
דוגמה מפורטת: מהירות r.m.s. מתוך צפיפות
- גז אידיאלי בלחץ $1.6 \times 10^5\ \text{Pa}$ יש צפיפות של $1.9\ \text{kg/m}^3$. הוכיחו שמהירות ה-r.m.s. של המולקולות שלו היא כ-$500\ \text{m/s}$.
- מ-$p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$: $\langle c^2 \rangle = \dfrac{3p}{\rho} = \dfrac{3 \times 1.6 \times 10^5}{1.9} = 2.53 \times 10^5\ \text{m}^2\text{/s}^2$.
- אחר כך $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.53 \times 10^5} = 503\ \text{m/s} \approx 500\ \text{m/s}$.
- בשאלת "הוכיחו", קבלו ספרה משמעותית נוספת והציגו אותה (503) לפני ההשוואה לערך הנתון. עיגול ל-500 קודם להוכחה אינו מוכיח דבר.
גז אידיאלי בלחץ 1.6 x 10^5 Pa וצפיפות 1.9 kg/m^3. מהי מהירות ה-r.m.s. של המולקלות שלו, במטר/שנייה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השתמש ב- p = rho <c^2>/3, ולכן <c^2> = 3p/rho = 2.53e5 ו- c_rms = 503 m/s. בשאלות 'הראו כי', ציטטו את הדמות הנוספת לפני עיגול.
מה טמפרטורה היא למעשה
- שני ביטויים לאותה $pV$: $pV = NkT$ מהמשוואה הסטטית, ו-$pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$ מתורת הקינטית. השוו אתם, בטלו $N$ והכפילו ב-$\tfrac32$:
- האגף השמאלי הוא האנרגיה הקינטית התרגולתית הממוצעת של מולקולה אחת. כלומר, הטמפרטורה היא מדד לאנרגיה קינטית מולקולרית ממוצעת, ואין שום דבר נוסף.
- שתי תוצאות שהבחינה מבקשת. הכפלת הטמפרטורה המוחלטת בשניים גורמת להאנרגיה הקינטית הממוצעת להכפיל את עצמה, ולכן $c_{\text{r.m.s.}}$ גדלה פי $\sqrt{2}$. בנוסף, באותה טמפרטורה, מולקולות קלות יותר זזות מהר יותר, מכיוון ש-$\tfrac12 m\langle c^2\rangle$ זהה לשניהן.
אנרגיה קינטית תרגולת ממוצעת של מולקולת גז תלויה רק ב:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\langle E_k\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ — רק הטמפרטורה התרמודינמית היא הרלוונטית.
אם הטמפרטורה המוחלטת כפולה, מהירות ה-r.m.s. עולה בגורן של:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\langle c^{2}\rangle \propto T$, ולכן $c_{\text{r.m.s.}} \propto \sqrt{T}$ — הכפלת $T$ כופלת אותה ב-$\sqrt{2} \approx 1.41$.
באותה טמפרטורה, מולקולות קלות נעות בממוצע מהר יותר מאשר כבדות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אותה אנרגיה קינטית ממוצעת ⟨KE⟩ $\tfrac{3}{2}kT$, אך מסה קטנה משמעותה מהירות גדולה יותר ⟨v⟩ $\langle c^{2}\rangle$ — ולכן מולקולות קלות מהירות יותר.
בהשוואה בין pV = NkT ל- pV = Nm<c^2>/3, ניתן להסיק שאנרגיה קינטית תרגולת ממוצעת של מולקולה שווה ל- ____ kT.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לכן הטמפרטורה היא מדד ישיר לאנרגיה קינטית ממוצעת של מולקולות, ואנרגיה פנימית של גז אידיאלי היא (3/2)nRT.
האנרגיה הפנימית של גז אידיאלי
- לגז אידיאלי אין כוחות בין מולקולות, ולכן אין אנרגיה פוטנציאלית מולקולרית: האנרגיה הפנימית שלו היא כולה קינטית.
- הכפלת האנרגיה הקינטית הממוצעת במספר המולקולות:
- לכן האנרגיה הפנימית של גז אידיאלי תלויה רק בטמפרטורה שלו, ולא בלחץ או בנפח. עובדה זו בלבד מספקת את רוב העבודה בשיעור הבא.
אנרגיה פנימית של גז אידיאלי שווה ל:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מולקולות גז אידיאלי בעלות רק אנרגיה קינטית, ולכן $U = \tfrac{3}{2}NkT = \tfrac{3}{2}nRT$ — פרופורציונליות ל-$T$.
סימונים נופלים מהיד
- מהירות ה-r.m.s. היא השורש הרבועי של הממוצע של הריבועים, ולא מהירות הממוצעת. הסדר חשוב: ריבוע, ממוצע, ואז שורש.
- האנרגיה הקינטית הממוצעת תלויה בטמפרטורה בלבד. שני גזים שונים בטמפרטורה זהה יש להם אותה אנרגיה קינטית מולקולרית ממוצעת.
- הכפל של $T$ גורם ל-$c_{\text{r.m.s.}}$ לגדול פי $\sqrt{2}$, ולא פי 2. האנרגיה פרופורציונלית ל-$T$, ולכן המהירות הולכת עם $\sqrt{T}$.
- תשובה על "הסבירו את הלחץ" צריכה לכלול שינוי בתנע, את שני חוקי ניוטון, ואת המספר הרב של התנגשויות בשנייה.
הבנתך מושלמת
- הנחות: מספר רב של מולקולות זהות בתנועה אקראית, נפח מולקולרי זניח, אין כוחות מלבד בתוך התנגשות, התנגשויות אלסטיות בעלות משך זמן זניח, חוקי ניוטון חלים
- $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$, או $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$ כאשר נתונה צפיפות; הלחץ הוא שינוי בתנע בקירות, הממוצע על מספר רב מאוד של התנגשויות
- $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^2\rangle}$, סיכום אחד של מגוון רחב של מהירויות
- בהשוואה עם $pV = NkT$ מקבלים $\tfrac12 m\langle c^2\rangle = \tfrac32 kT$: הטמפרטורה היא אנרגיה קינטית מולקולרית ממוצעת, ולכן $U = \tfrac32 nRT$ תלויה בטמפרטורה בלבד