תנועה מעגלית ומהירות זוויתית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | רדיאנים |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | אורך קשת |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | מהירות זוויתית |
| period/ˈpɪərɪəd/ | זמן מחזור |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | תדר |
| tangential/tænˈdʒenʃl/ | משיקי |
| linear speed/ˈlɪnɪə spiːd/ | מהירות ליניארית |
סביבת המשחק
- שני סוסים על מלכודת הסוסים מסתובבים יחד סבב אחד.
- עם זאת, הסוס החיצוני נע מהר יותר מהסוס הפנימי.
- הקשר בין "סיבוב" לבין "מהירות" הוא מה שאנו מגדירים כאן.
זוויות ברדיאנים
- רדיאן הוא הזווית שבה אורך הקשת שווה לרדיוס: $\theta = \dfrac{s}{r}$.
- מעגל שלם הוא $2\pi\ \text{rad}$. (הגדר את המחשבון שלך ל-רדיאנים לנושא זה.)
גלגל פנורמי: כל קרון נע במעגל במהירות זוויתית קבועה
מהירות זוויתית
s = rθ
מהירות זוויתית מייצגת זווית ליחידת זמן; אורך קשת s = rθ.
רדיאן אחד הוא הזווית שבה אורך הקשת שווה ל-:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\theta = \dfrac{s}{r}$, ולכן כאשר אורך הקשת $s$ שווה למשפטן $r$, הזווית היא בדיוק רדיאן אחד.
כמה רדיאנים יש במעגל שלם?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מעגל מלא בעל אורך קשת $s = 2\pi r$, ולכן $\theta = \dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi \approx 6.28\ \text{rad}$.
התאם כל מונח להגדרה שמסמן בוחן התשובה הנכונה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הגדרת הרדיאן כ-180/pi מעלות, או באמצעות הנוסחה theta = s/r, תוביל לאיבוד נקודות. הביטוי "קשת השווה באורכה למשפטן" הוא הביטוי המבוקש.
מהירות זוויתית
- מהירות זוויתית $\omega$ היא המהירות שבה הזווית משתנה: $\omega = \dfrac{\theta}{t}$.
- יחידה: $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
רדיאן אחד הוא הזווית שבה אורך הקשת שווה לרדיוס
תקופה ותדירות
- סיבוב אחד לוקח את ה-תקופה $T$, ולכן $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$.
- $f = \dfrac{1}{T}$ הוא מספר הסיבובים בשנייה (Hz).
כשהרדיוס מסתובב בזווית זו, הגוף עובר קשת במהירות v
גוף עובר פעם אחת בכל $2.0\ \text{s}$. מהי מהירותו הזוויתית?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
מהירות זוויתית שווה ל-$2\pi$ חלקי ה-____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ — סיבוב שלם ($2\pi$) חלקי הזמן לסבוב אחד.
מהירות ליניארית ומהירות זוויתית
- המהירות בפועל (משיקית) היא $v = r\omega$.
- אותו $\omega$, רדיוס גדול יותר $r$ → מהירות גבוהה יותר $v$ — והוא הסיבה שהסוס החיצוני נע מהר יותר.
נקודה במרחק $0.50\ \text{m}$ מסובבת ב-$\omega = 4.0\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. מהי מהירותה הקווית?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$v = r\omega = 0.50 \times 4.0 = 2.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
במרכבה, סוס הנמצא רחוק יותר ממרכז נע במהירות קווית גבוהה יותר.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אותה מהירות זוויתית $\omega$, אך $v = r\omega$, ולכן משפטן גדול יותר נותן מהירות קווית גדולה יותר.
גלגל מסתובב פעם אחת כל 4.0 שניות. מהי מהירותו הזוויתית, ברדיאנים לשנייה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
omega = 2 pi / T = 1.57 rad/s. כל הנוסחאות בנושא זה מניחות רדיאנים, ולכן מצב מחשבון על מעלות פוגע במהירות v = r omega גם כן.
תיאור תנועה מעגלית אחידה
- הבחינה מבקשת זאת "בעזרת מהירות ותאוצה". אמור את שלושת הדברים:
- המהירות השטחית קבועה, אך הווקטור המהירות אינו כזה — הוא לאורך המשיק וה-כיוונון משתנה באופן רציף;
- התאוצה בעלת גודל קבוע ומכוונת תמיד למרכז, מאונכת למהירות.
איזה הצהרות מתארות נכון גוף בתנועה מעגליה אחידה? סמן את כולם החלופות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
המהירות קבועה אך הכיוון של המהירות נשאר משתנה, ולכן קיימת תאוצה — בגודל קבוע, תמיד כלפי המרכז.
בתנועה מעגלית אחידה, מה נשאר קבוע? סמן את כולם החלופות המתאימות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
המהירות משתנה באופן רציף בכיוונה, וזה בדיוק הסיבה לקיום התאוצה. הכוח אינו מבצע עבודה, ולכן האנרגיה הקינטית לעולם אינה משתנה.
דוגמה מופרדת: עומדים במקום, נעים במהירות
קמבריד' נמצאת בקו רוחב $52.2^\circ$ כדור הארץ ברדיוס $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ מסתובב פעם ביום. מצאו את רדיוס המעגל שבו קמבריד' נעה, את מהירותה, וכוח התוצאה הנדרש לתלמיד של $60\ \text{kg}$ כדי לבצע תנועה זו.
- רדיוס המעגל: העיר מקיפה את ציר כדור הארץ, ולא את מרכו, לכן $r = R\cos 52.2^\circ = 6.37 \times 10^{6} \times 0.613 = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- מהירות זוויתית: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{86\,400} = 7.27 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- מהירות: $v = r\omega = 3.90 \times 10^{6} \times 7.27 \times 10^{-5} = 284\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- כוח תוצאה: $F = mr\omega^{2} = 60 \times 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 1.2\ \text{N}$, אל הציר.
- בדיקה: כוח זעיר ביחס למשקל התלמיד ב-$590\ \text{N}$ — ולכן איננו מרגישים את הסביבה, למרות שאנו נעים מהר יותר ממטוס קרב.
$\omega$ חייב להיות ברדיאנים לשנייה. סיבובים לדקה הופכים ל$\dfrac{\text{rpm} \times 2\pi}{60}$; סיבוב מלא הוא $2\pi$ בכל נוסחה כאן, לעולם לא $360$. $r$ ב$v = r\omega$ הוא במטרים. והתקופה היא הזמן לסיבוב מלא אחד, לא לחצי סיבוב או להתנדדות.
מקדח מסתובב ב-$3000$ סיבובים לדקה. מהו המהירות הזוויתית שלו, ברדיאנים לשנייה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$3000$ סיבובים לדקה הם $50$ לשנייה; כל סיבוב הוא $2\pi$ רדיאן, לכן $\omega = 50 \times 2\pi = 314\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
מספרים לקבלת תחושה
- דיסק CD ב$500$ סיבובים לדקה: $\omega = \dfrac{500 \times 2\pi}{60} = 52\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- גלגל רכב ברדיוס $0.30\ \text{m}$ ב$20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$: $\omega = \dfrac{v}{r} = 67\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, כ-$11$ סיבובים בשנייה.
- כדור הארץ: סיבוב אחד ב$86\,400\ \text{s}$, לכן $\omega = 7.3 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ — איטי בזווית, מהיר בקצה.
הבנתך מושלמת
- רדיאן: $\theta = \dfrac{s}{r}$; מעגל מלא הוא $2\pi\ \text{rad}$
- מהירות זוויתית $\omega = \dfrac{\theta}{t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (rad/s — המירו RPM)
- מהירות ליניארית $v = r\omega$ (רדיוס גדול יותר → מהירות גבוהה); תנועה מעגלית אחידה: מהירות שטחית קבועה, מהירות וקטורית משתנה, תאוצה לכיוון המרכז